Forme de Killing

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Dans la théorie des algèbres de Lie, la forme de Killing est une forme bilinéaire symétrique naturellement associée à toute algèbre de Lie. Elle reflète un certain nombre de propriétés des algèbres de Lie (semi-simplicité, résolubilité, ...).

[modifier] Définition

Soit g une K-algèbre de Lie, où K désigne un corps (commutatif). La représentation adjointe définit pour tout vecteur x de g un endomorphisme K-linéaire ad(x) du K-espace vectoriel g :

ad(x)(y) = [x,y]

Si g est de dimension finie, il existe une forme bilinéaire symétrique B définie par :

où Tr désigne l'opérateur trace. Cette forme est appelée forme de Killing de g.

La forme de Killing est l'unique forme bilinéaire symétrique sur g, invariante sous l'action des automorphismes de la K-algèbre de Lie g et vérifiant l'identité remarquable :

.

Sa définition a été introduite par Cartan.