Fonctions de Leibniz

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En géométrie affine ou euclidienne, les fonctions vectorielles et scalaires de Leibniz sont des fonctions qui, à des points, associent des vecteurs (fonction vectorielle) ou des nombres (fonction scalaire). Ces fonctions sont très intimement liées à la notion de barycentre qui permet d'en donner une forme simplifiée.

[modifier] Fonction vectorielle de Leibniz

On se place dans un espace affine E associé à un espace vectoriel V. Soient $(A_i)_{i=1 \cdots n}$ une famille de n points et $(a_i)_{i=1 \cdots n}$ une famille de n scalaires, on appelle fonction vectorielle de Leibniz associée au système $\left\{\left(A_i,a_i\right)_{i=1 \cdots n}\right \}$ , l'application de E dans V qui, au point M associe le vecteur $\vec f(M) = \sum_{i=1}^n a_i \overrightarrow{MA_i}$

Si la somme des coefficients $\sum_{i=1}^n a_i$ est nulle, cette fonction est constante. Si un des coefficients est non nul (par exemple $a 1$ ), cette constante est égale à $a_1\overrightarrow{G_1A_1}$ où G_1 est le barycentre du système $\left\{\left(A_i,a_i\right)_{i=2 \cdots n}\right \}$

Si la somme des coefficients $\sum_{i=1}^n a_i$ est non nulle, cette fonction se simplifie en

$\vec f(M) = \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\overrightarrow{MG}$

Cette propriété permet de réduire une combinaison linéaire de plusieurs vecteurs en un seul vecteur grâce à un barycentre. Elle permet aussi de donner les coordonnées du barycentre quand l'espace est de dimension finie.

En effet $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n a_i}\vec f(O) = \frac{1}{\sum_{i=1}^n a_i} \sum_{i=1}^n a_i \overrightarrow{OA_i}$ .

Ce qui se traduit en terme de coordonnées par

$x_{G,k} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n a_i} \sum_{i=1}^n a_i x_{A_i,k}$

[modifier] Fonction scalaire de Leibniz

On se place dans un espace affine euclidien sur un corps $\mathbb K$ . Soient $(A_i)_{i=1 \cdots n}$ une famille de n points et $(a_i)_{i=1 \cdots n}$ une famille de n scalaires, on appelle fonction scalaire de Leibniz associée au système $\left\{\left(A_i,a_i\right)_{i=1 \cdots n}\right \}$ , l'application de E dans $\mathbb K$ qui, au point M associe le scalaire $f(M) = \sum_{i=1}^n a_i MA_i^2$

Si la somme des coefficients est nulle, cette fonction se simplifie en

$f(M) = f(O) + 2\overrightarrow{MO}\cdot \vec u$

où $\vec u$ est la constante égale à la fonction vectorielle de Leibniz associée au système et où O est un point arbitrairement fixé.

Si la somme des coefficients est non nulle, cette fonction se simplifie en

$f(M) = f(G) + \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) MG^2$

où G est le barycentre du système $\left\{\left(A_i,a_i\right)_{i=1 \cdots n}\right \}$

Cette réduction permet de résoudre plus simplement des problèmes de lieux de points (voir théorème de Leibniz)

Exemple : en dimension deux, l'ensemble des points M tels que f(M) = k est

dans le cas où la somme des coefficients est nulle
- une droite orthogonale à $\vec u$ si $\vec u$ est non nul
- tout le plan ou l'ensemble vide (selon les valeurs de k) si $\vec u$ est nul
dans le cas où la somme des coefficients est non nulle
- un cercle de centre G, le point G ou l'ensemble vide (selon les valeurs de k)