Développement en série de Engel
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[modifier] Construction du développement
Soit . On construit le développement de ce nombre de la manière suivante:
.
Dans ce cas, le nombre x0 s'écrit de manière unique sous la forme suivante (dite série de Engel):
où la suite (an)n est une suite croissante d'entiers plus grands que 2.
[modifier] Propriétés
Soit . Alors x0 est rationnel si, et seulement si, la suite
de son développement en série de Engel est constante à partir d'un certain rang.
[modifier] Exemples
Les nombres (qui donne immédiatement son développement: an = n) et
(avec
) sont irrationnels car leurs développements en série de Engel tendent vers
.
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