Dérivée seconde

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La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie.

Sommaire

Si la fonction admet une dérivée seconde et que cette dérivée seconde est continue, la fonction est dite de classe C².

Si on note ƒ(x) la fonction, alors

la dérivée est notée ƒ '(x) ou $\frac{df}{dx}$ , et
la dérivée seconde est notée ƒ ''(x) (« f seconde de x ») ou $\frac{d^2f}{dx^2}$

La dérivée seconde indique la variation de la pente :

si elle est positive sur un intervalle, la pente augmente, la courbure est vers le bas, la fonction est dite « convexe » sur cet intervalle ;
si elle est négative sur un intervalle, la pente diminue, la courbure est vers le haut, la fonction est dite « concave » sur cet intervalle ;
si elle est nulle, la courbe est localement rectiligne ;
si la dérivée seconde s'annule et change de signe, on a un point d'inflexion, la courbure de la courbe s'inverse.

Les fonctions non dérivables en un point n'y admettent pas de dérivée seconde ; a fortiori les fonctions non continues en un point ;
une primitive d'une fonction continue non dérivable est une fonction continue et dérivable, mais elle n'a pas de dérivée seconde aux points où la fonction initiale n'est pas dérivable ; c'est notamment le cas de la primitive de primitive d'une fonction non continue mais bornée.
- une primitive double de la fonction signe, ∫∫sgn
  $\sgn(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x < 0 \\ \;0 & : x = 0 \\ \;1 & : x > 0 \end{matrix}\right.$
- une primitive double d'une fonction carrée, la primitive d'une fonction triangulaire (en dents de scie) ;
- une primitive double de la fonction partie entière ∫∫E(t)·dt;
- une primitive double de la fonction partie décimale ∫∫(x-E(t))·dt ;