Couplage de deux oscillateurs mécaniques
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Soient deux pendules simples identiques oscillant dans le même plan, avec la même pulsation telle que :
(formule dite des petites oscillations)
Sommaire |
[modifier] Couplage des deux pendules
Placer un ressort de longueur au repos égal à la distance M1M2 = a, entre les pendules immobiles. Ce faisant, on couple les 2 oscillateurs et les deux degrés de liberté x1 et x2 du mouvement de chaque pendule seront couplés par le ressort de raideur k.
[modifier] Symétrie
La symétrie du problème fait apparaître deux régimes :
- l'un symétrique: x1 = x2 : le ressort ne joue aucun rôle et la pulsation reste inchangée.
- l'autre antisymétrique x1 = - x2 : le point milieu du ressort reste immobile. On se retrouve avec deux oscillateurs non couplés avec rappel par un ressort de raideur 2k. La pulsation est telle que:
Il suffirait donc d'avoir changé les coordonnées du problème en X1 =x 1+x2 et X2 = x1-x2 pour entraîner le découplage : c'est une situation générale pour des oscillateurs linéaires. En choisissant les coordonnées dites "normales", le couplage s'évanouit. C'est donc une notion relative au point de vue choisi.
[modifier] Double résonance
Appelons arbitrairement (on vient de le voir) K = kl/mg , la constante de couplage. Si l'on force le mouvement de la première masse par une force sinusoïdale F cos(ωt) alors le mouvement x1(t) sera un mouvement sinusoïdal d'amplitude complexe x1(p) tel que :
qui est un réel conformément au théorème de Foster-Tuttle, avec résonance aux deux pulsations propres et une pulsation "bouchon" (x1(t)=0 ), juste au moment où la masse m2 oscille sur cette pulsation. Celle-ci est telle que 
, x2 ayant une amplitude finie.
Cependant, les phénomènes décrits ici ne sont valables que pour de petites oscillations.
