Classification de Bianchi
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Vous avez de La classification de Bianchi est une classification des algèbres de Lie réelles de dimension 3, donnée par Luigi Bianchi.
| Type | Description | Exemple | Groupe de Lie simplement connexe | Matrice |
|---|---|---|---|---|
| Type I | Abélienne | R3, muni d'un crochet nul | R3 comme groupe additif | M = 0 |
| Type II | Nilpotente et unimodulaire | H3, l'algèbre de Heisenberg | Le Groupe de Heisenberg de dimension 3 | M nilpotente non nulle |
| Type III | Résoluble et pas unimodulaire | Rx... | RxG : Produit direct du groupe additif R et du groupe G des matrices triangulaires supérieures de déterminant 1 | M a une unique valeur propre nulle |
| Type IV | Résoluble et pas unimodulaire | M est une matrice non semi-simple possédant une unique valeur propre, qui est non nulle. | ||
| Type V | Résoluble et non unimodulaire | M est une matrice semi-simple possédant une unique valeur propre. | ||
| Type VI | Résoluble et non unimodulaire | M a deux valeurs propres réelles distinctes non nulles et de somme non nulle. | ||
| Type VI0 | Résoluble et unimodulaire | so(1,1) | SO(1,1) | M possède deux valeurs propres réelles distinctes de somme nulle. |
| Type VII | Résoluble et unimodulaire | M a des valeurs propres non réelles et non imaginaires pures. | ||
| Type VII0 | Résoluble et unimodulaire | Groupe des isométries directes du plan euclidien | M ne possède que des valeurs propres imaginaires pures non nulles. | |
| Type VIII | Semisimple et unimodulaire | sl2(R) | SL2(R) | Irréalisable |
| Type IX | Semisimple et unimodulaire | o3(R) | SO3(R) | Irréalisable |
