Champ vectoriel hamiltonien

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En mathématiques et en physique, on définit un champ vectoriel hamiltonien, dont le nom vient du mathématicien et physicien William Rowan Hamilton, est un champ vectoriel induit sur une variété de Poisson ou une variété symplétique par un hamiltonien. L'intégrale curviligne du champ de vecteurs simplétique est une solution de l'équation de Hamilton-Jacobi. Le champ vectoriel, associé à la variété symplétique et à la forme symplétique forment un système hamiltonien.

[modifier] Définition

Puisque une forme symplétique sur une variété symplétique n'est pas dégénérée, elle induit un isomorphisme entre le faisceau tangent et cotangent, formant une bijection entre les vecteurs tangents et les covecteurs associés. En particulier, toute fonction dérivable

$H:M\to\mathbb{R}$

sur une variété symplétique M induit un unique champ vectoriel X_H, appelé champ vectoriel hamiltonien. Il est défini de telle sorte que chaque champ vectoriel Y sur M vérifie

dH(Y) = ω(X_H,Y)

Utilisant les coordonnées canoniques $(q^1,\ldots ,q^n,p_1,\ldots,p_n)$ , la forme symplétique s'écrit :

$\omega=\sum_i dq^i \wedge dp_i$

et donc le champ vectoriel hamiltonien s'écrit :

$X_H = \left( \frac{\partial H}{\partial p_i}, - \frac{\partial H}{\partial q^i} \right) = \Omega \cdot dH$

où Ω est la matrice symplétique canonique associée :

$\Omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{bmatrix}$ .

La courbe $γ(t) = (q (t), p (t))$ est donc une intégrale curviligne du champ vectoriel si, et seulement si, elle est solution des équations de Hamilton-Jacobi :

$\dot{q}^i = \frac {\partial H}{\partial p_i}$

$\dot{p}_i = - \frac {\partial H}{\partial q^i}$ .

On remarque que l'énergie est constante le long de la courbe, ie $H (γ(t))$ est une constante, indépendante de t.

[modifier] Accolades de Poisson

Le champ vectoriel hamiltonien procure aux fonctions dérivables sur M la structure d'algèbre de Lie, que l'on peut écrire en utilisant la notation des accolades de Poisson :

$\{f,g\} = \omega(X_f,X_g)= X_g(f) = \mathcal{L}_{X_g} f$

où $\mathcal{L}_X$ est la dérivée de Lie selonX. La notation ci dessus n'est cependant pas acceptée par tous les auteurs.

[modifier] Références

(en) McDuff et Salamon: Introduction à la topologie symplétique (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-198-50451-9.
(en) Abraham et Marsden, Fondements de la mécanique, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X

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