Chaînette

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Coube de la chaînette pour a=2

En mathématiques, la chaînette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaîne) lorsqu'il est suspendu par ses extrémités et soumis à une force gravitationnelle uniforme (son propre poids). On lui donne parfois le nom de vélaire.

[modifier] Étymologie et histoire

Le problème de la forme prise par un fil pesant flexible a intéressé très tôt les mathématiciens. Galilée pensait que cette forme devait être un arc de parabole, mais la preuve du contraire fut apportée en 1669 par Jungius. En 1691, Leibniz, Jean Bernoulli, et Huygens, sous l'impulsion d'un défi lancé par Jacques Bernoulli démontrent quasi-simultanément que la forme exacte est une chaînette. C'est d'ailleurs Huygens qui la baptise alors, dans une lettre adressée à Leibniz en 1690, d'un nom qui sous sa forme latine catenaria dérive de « chaîne ».

[modifier] Définition mathématique

L'équation cartésienne de la forme de la chaînette est :

$y(x)=a \cdot \operatorname{ch}\left(\frac{x}{a}\right)$

On peut également la voir sous la forme d'une équation paramétrique :

$\left\{ \begin{matrix} x(t)=a \cdot \ln\left(t\right) \\ y(t)=\frac{a}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right) \\ t>0 & \end{matrix} \right.$

[modifier] Calcul mécanique

En mécanique, cette équation peut se calculer de deux manière.

Avec la loi de l'équilibre des forces : la somme des forces s'exerçant sur un maillon est nul puisque l'on est à l'équilibre. Le maillon est soumis à son poids, ainsi qu'à la traction de la part des maillons voisins. La direction de traction varie d'un maillon à l'autre.

On peut aussi appliquer le formalisme lagrangien. L'équation d'Euler-Lagrange qu'on obtient est celle de la corde vibrante

$\frac{d^2 f}{dt^2} + \frac{d^2 f}{dx^2} = f$

La solution stationnaire vérifie

$\frac{df}{dt} = 0$ et $\frac{d^2 f}{dt^2} = 0$

soit

$\frac{d^2 f}{dx^2} = f$

ce qui donne le cosinus hyperbolique.

[modifier] Propriétés et applications

L'axe des ordonnées est axe de symétrie de la courbe. Pour l'axe des abscisses, on parle de base.
La chaînette est un cas particulier d'alysoïde et de courbe de Ribaucour.
La chaînette est presque verticale près des points de suspension, car c'est là que le poids le plus important tire le plus la chaîne vers le bas. En revanche, vers le bas de la courbe, l'inclinaison diminue peu à peu puisque la chaîne supporte de moins en moins de poids. C'est d'ailleurs une des différences entre la chaînette et la parabole : pour une longueur égale, la parabole est plus « pointue » dans sa partie inférieure.
La chaînette n'apparaît pas seulement dans la forme d'un fil suspendu. On la trouve aussi :
- renversée, pour un arc tenant par son propre poids (voir à ce sujet les essais architecturaux de Gaudi).
- verticale, dans le profil d’une voile rectangulaire attachée à 2 barres horizontales, enflée par un vent soufflant perpendiculairement à ces barres, en négligeant le poids propre de la voile par rapport à la force du vent. C'est cette propriété qui justifie le nom de « vélaire » (voile) donné par Jacques Bernoulli.

[modifier] Voir aussi

Pour plus d'informations sur la fonction cosinus hyperbolique, voir l'article fonction hyperbolique.
Une corde soumie à une force peut prendre d'autres formes : voir la courbe de la corde à sauter.
Lorsqu'on écarte deux cercles sortis d'une solution savonneuse, la surface qui se crée entre ces deux profils a un profil de chaînette : il s'agit d'une caténoïde.

[modifier] Liens externes

Sur le site Mathcurve.com

Exemples de courbes
Conique dont Cercle - Ellipse- Parabole - Hyperbole
Cardioïde - - Cissoïde - Clothoïde - --Cycloïde - Epicycloïde - Hypocycloïde (Astroïde, Deltoïde) - Hypotrochoïde - Spirale (dont Spirale logarithmique, Spirale d'Archimède) - Hélice
Lemniscate (dont Lemniscate de Gerono, Lemniscate de Booth, Lemniscate logarithmique, Courbe du diable)
Trajectoire - Ovale de Cassini - Chaînette - Courbe brachistochrone
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