Antécédent (mathématiques)

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Sommaire

1 Définition
- 1.1 Exemples
2 Image d'un ensemble par une application
3 Injections, surjections, bijections
4 Voir aussi

[modifier] Définition

En mathématiques, étant donnés deux ensembles non vides E, F et une application $\ f : E \to F$ , on appelle antécédent (par f) d'un élément y de F tout élément x de E tel que $\ f (x) = y$ .

Un antécédent est donc, par définition, un élément de l'image réciproque $\ f^{-1}(\{y\})$ .

[modifier] Exemples

Soient la fonction $\ f : \R \to \R,\, x \mapsto x^2$ et y un réel.

Si y > 0, y admet deux antécédents, qui sont $\ \sqrt{y}$ et $\ -\sqrt{y}$

Si y = 0, y admet un seul antécédent, qui est 0

Si y < 0, y n'admet aucun antécédent

Soient E un ensemble non vide, et une application $\ f : E \to \mathcal{P}(E)$ , où $\ \mathcal{P}(E)$ désigne l'ensemble des parties de E. On définit $\ Y = \{x \in E\, /\, x \notin f(x)\}$ : Y est une partie de E, autrement dit un élément de l'ensemble $\ \mathcal{P}(E)$ .

Cet élément n'admet aucun antécédent par f. En effet, supposons qu'un tel antécédent $\ x_0 \in E$ existe. On a donc $\ f (x_0) = Y$ .

Deux cas sont possibles :

$\ x_0 \in Y$ , ce qui veut dire (par définition de Y) que $\ x_0 \notin f(x_0)$ , ou $\ x_0 \notin Y$

$\ x_0 \notin Y$ , ce qui veut dire (par définition de Y) que $\ x_0 \in f(x_0)$ , ou $\ x_0 \in Y$

Dans les deux cas, on aboutit à une contradiction, ce qui prouve par l'absurde que Y n'a pas d'antécédent (cf. l'argument de la diagonale de Cantor).

[modifier] Image d'un ensemble par une application

Soient une application $\ f : E \to F$ et A un sous-ensemble de E. On appelle image de A par f l'ensemble des éléments y de F qui admettent au moins un antécédent appartenant à A ; on la note $\ f (A)$ :

$\ f (A) = \{y \in F\,/\, \exists\, x \in A, y = f(x)\}$ .

En particulier, l'image de E par f, appelée image de f, est l'ensemble des éléments y de F qui admettent au moins un antécédent :

$\ f (E) = \{y \in F\,/\, \exists\, x \in E, y = f(x)\}$ .

[modifier] Injections, surjections, bijections

Soit une application $\ f : E \to F$ .

On dit que f est injective, ou que c'est une injection, si tout élément de F admet au plus un antécédent.
On dit que f est surjective, ou que c'est une surjection, si tout élément de F admet au moins un antécédent, c'est-à-dire si

$\ f (E) = F$ .

On dit que f est bijective, ou que c'est une bijection, si tout élément de F admet un antécédent et un seul, c'est-à-dire si f est à la fois injective et surjective.

Dans ce cas, on peut définir l'application $\ f^{-1} : F \to E, y \mapsto x$ , où x est l'unique antécédent de y par f. C'est aussi une bijection, dite réciproque de f.

(l'exemple vu plus haut montre qu'il n'existe aucune application surjective $\ f : E \to \mathcal{P}(E)$ ).