Équation différentielle de Lagrange
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En mathématiques, l'équation différentielle de Lagrange est une équation différentielle qui peut se mettre sous la forme suivante
pour deux fonctions a et b continûment dérivables. Elle porte le nom du mathématicien Joseph-Louis Lagrange.
Les fonctions affines solutions portent le nom de solutions singulières. Elles sont de la forme 
, avec 
.
Les solutions régulières sont celles qui vérifient 
et 
non nulle. Soit t dans 
. On effectue le changement de variable 
.
Nous sommes donc ramenés à un problème que nous savons résoudre : une équation différentielle linéaire d'ordre un. On trouve p et grâce à l'équation initiale on connaît y(p).
Ce ne sont pas là toutes les solutions. Des solutions hybrides peuvent être obtenues par raccordement des précédentes. Le théorème des fonctions implicites montre que, sauf au voisinage de points exceptionnels, on peut exprimer localement 
comme une fonction de 
, continûment dérivable. Il n'y a donc pas d'autres solutions que celles obtenues par raccordement.
[modifier] Articles connexes
- L'équation différentielle de Clairaut est un cas particulier de celle de Lagrange
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