Fuerza centrípeta

De Wikipedia, la enciclopedia libre

La fuerza centrípeta es la fuerza que tira de un objeto hacia el centro de un camino circular mientras que el objeto sigue ese camino circular. Un objeto sólo puede tener una trayectoria circular si se le aplica una fuerza centrípeta.

En el caso de un satélite en órbita, la fuerza centrípeta es su peso y actúa hacia el objeto alrededor del cual orbite. En el caso de un objeto atado a una cuerda, la fuerza centrípeta es la tensión de la cuerda y actúa hacia el objeto al cual esté anclada. En el caso de un objeto giratorio, los esfuerzos internos proporcionan la fuerza centrípeta que mantiene al objeto unido.

La fuerza centrípeta no debe confundirse con la fuerza centrífuga. En un sistema de referencia inercial (sin aceleración tangencial ni normal), la fuerza centrípeta acelera a una partícula de un modo tal que ésta se moverá siguiendo una trayectoria circular. En un sistema de referencia que gire junto con la partícula, una partícula con movimiento circular tiene velocidad cero. En este caso, la fuerza centrípeta parece anularse con una fuerza ficticia, la fuerza centrífuga. Las fuerza centrípetas son fuerzas reales que aparecen en sistemas de referencia inerciales; las fuerzas centrífugas sólo aparecen en sistemas giratorios.

Los objetos con movimiento rectilíneo uniforme tienen una velocidad constante. Sin embargo, un objeto que se mueva en un arco con velocidad constante sufre un continuo cambio en la dirección del movimiento. Dado que la velocidad es un vector con módulo, dirección y sentido, un cambio en la dirección implica una velocidad variante. La magnitud de este cambio de velocidad es la aceleración centrípeta. Diferenciando el vector de velocidad obtenemos la dirección de esta aceleración hacia el centro del círculo.

$\mathbf{a} = - \frac{v^2}{r} \frac{\mathbf{r}}{r} = - \omega^2 \mathbf{r}$

Según la segunda ley de Newton, si hay una aceleración ha de existir una fuerza en la dirección de esta aceleración. Es la fuerza centrípeta, y es igual a:

$\mathbf{F} = - \frac{m v^2}{r} \frac{\mathbf{r}}{r} = - m \omega^2 \mathbf{r}$

(donde m es la masa, v es la velocidad, r es el radio en la curvatura del movimiento y el signo negativo denota que el vector apunta al centro del círculo, y ω = v / r es la velocidad angular)

Centrípeta significa dirigida hacia el centro.

[editar] Prueba de la ley

Simplemente usando coordenadas polares, suponiendo radio constante y derivando dos veces.

Sea r(t) un vector que describe la posición de una partícula en función del tiempo. Dado que suponemos movimiento circular uniforme, sea r(t) = R·u_r, donde R es una constante (el radio de curvatura) y u_r es el vector unitario dirigido desde el origen de la partícula. En términos de vectores unitarios cartesianos:

$u_r = cos(\theta)u_x + sen(\theta)u_y \,$

Nótese: a diferencia de en coordenadas cartesianas donde los vectores unitarios son constantes, en coordenadas polares la dirección de los vectores unitarios depende del ángulo entre el eje x y el punto descrito; el ángulo θ.

Derivamos por primera vez para encontrar la velocidad:

$v = R \frac {du_r}{dt} \,$

$v = R \frac{d\theta}{dt} u_\theta \,$

$v = R \omega u_\theta \,$

donde ω es la velocidad angular (un modo más rápido de escribir dθ/dt), u_θ es el vector unitario perpendicular a u_r que apunta en la dirección de aumento de θ. En términos cartesianos: u_θ = -sen(θ) u_x + cos(θ) u_y

Este resultado para la velocidad es bueno porque concuerda con el resultado esperado de que la velocidad debía ser tangente a la circunferencia, y que la magnitud de la velocidad debía ser ωR. Derivando de nuevo, encontramos que la aceleración a es:

$a = R \left( \frac {d\omega}{dt} u_\theta - \omega^2 u_r \right) \,$

dado que el movimiento es uniforme, el valor de v es constante, y por tanto no puede haber dv/dt que apunte en la misma dirección que v. Esto implica que ω es constante, lo cual simplifica la ecuación dando:

$a = -R \omega^2 u_r \,$