Winkelmaß

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Das Winkelmaß dient zur Angabe der Größe eines ebenen Winkels, misst also die Winkelweite.

Inhaltsverzeichnis 1 Gebräuchliche Winkelmaße 1.1 Lineare Unterteilung des Vollwinkels 1.2 Nichtlineare Unterteilung des Vollwinkels 2 Die Entwicklung der Winkelmaße 2.1 Vollkreis und rechter Winkel 2.2 Bogenmaß: 2 Pi 2.3 Gradmaß: 360, 400; Stundenmaß: 24 2.4 Peilung: 32, 6400 3 Siehe auch 4 Einzelnachweise

[Bearbeiten] Gebräuchliche Winkelmaße

Der Vollwinkel ist derjenige Winkel, um den man einen Strahl um seinen Anfangspunkt drehen muss, damit er zum ersten Mal wieder seine ursprüngliche Lage erreicht. Je nach Einsatzgebiet werden verschiedene Maße und deren Einheiten verwendet.

[Bearbeiten] Lineare Unterteilung des Vollwinkels

• Der Vollwinkel ist eine gesetzliche Maßeinheit, für den es zur Zeit kein standardisiertes Einheitenzeichen gibt. Die Winkelweite wird als Vielfaches oder Teil angegeben, indem man dem Vollwinkel einen Faktor als Zahlenwert voranstellt.
• Im Bogenmaß wird dem Vollwinkel die Maßzahl 2π zugewiesen. Zur Kennzeichnung des Bogenmaßes wird der Maßzahl die Hilfsmaßeinheit Radiant (rad) nachgestellt. Im Internationalen Einheitensystem (SI) ist der Radiant eine dimensionslose, kohärente, abgeleitete SI-Einheit und kann aufgrund dieser Eigenschaften in SI-konformen Rechnungen einfach durch die Zahl 1 ersetzt werden: 1 rad = 1.

  1 Vollwinkel = 2π rad

• Im Gradmaß wird der Vollwinkel in 360 gleich große Teile unterteilt. Ein solcher Teil wird als Maßeinheit Grad bezeichnet und mit dem Einheitenzeichen „°“ gekennzeichnet.

  1 Vollwinkel = 360°

• Im geodätischen Winkelmaß wird der Vollwinkel in 400 gleich große Teile unterteilt. Ein solcher Teil wird als Gon bezeichnet und mit dem Einheitenzeichen „gon“ gekennzeichnet.

  1 Vollwinkel = 400 gon

• Das Zeitmaß wird ein Vollwinkel in 24 Stunden unterteilt. Es wird in der Astronomie zur Angabe des Stundenwinkels und der Rektaszension verwendet.

  1 Vollwinkel = 24^h

• In Strich gemessen wird, indem der Vollwinkel in eine je nach Anwendungsgebiet unterschiedlich große Anzahl von gleich großen Teilen unterteilt wird:

  1 Vollwinkel = 32¯ (nautisch)

  1 Vollwinkel = 6400 mil (militärisch)

[Bearbeiten] Nichtlineare Unterteilung des Vollwinkels

Ein anderes Messprinzip der Winkelweite erfolgt über das Verhältnis von Höhenunterschied zu Länge im Sinne eines Steigungswinkels, die Rechnung erfolgt über den Tangens des Winkels. Diese Skala ist nicht linear, für rechte Winkel geht die Steigung gegen unendlich. Die Länge kann nur positiv sein (es wird nur „nach vorne“ gemessen) und daher ist der Steigungswinkel nur im Bereich von -90° < α < +90° definiert.

• Prozent oder Promille (für Steigungen besonders im Verkehrswesen)

  45° ≘ 100 %

  90° --> ∞

[Bearbeiten] Die Entwicklung der Winkelmaße

[Bearbeiten] Vollkreis und rechter Winkel

Prinzipiell kennen wir zwei Maßverkörperungen für die Winkelweite, die sich beide von einem intuitiven Bezugssystem von Vorne, Hinten, Rechts und Links ableiten.

• Den Kreis, der über das Konzept der Unterteilung in Kreissektoren, wie sie etwa als „Tortenstück“ geläufig ist, in enger Beziehung zum arithmetischen Prinzip der Bruchrechnung steht.
• Das Polygon, das über den Zusammenhang zwischen Innenwinkel und Zentriwinkel geometrischen Zugang zum Winkel ermöglicht. Hier ist insbesondere das Quadrat zu nennen, bei dem beide einen rechten Winkel bilden.

Daher gibt es zwei ausgezeichnete Maßeinheiten für den Winkel, den Vollwinkel (Vollkreis) und den rechten Winkel (Viertelkreis). Diese beide Konzepte finden sich schon in den frühesten Spuren protowissenschaftlicher Methoden früher Hochkulturen. ^[1]

Während der Rechte Winkel heute nur insofern als Maß dient, sprachlich – und natürlich auch rechentechnisch – „gerade“ von „schiefen“ Winkeln zu unterscheiden und „spitze“ von „stumpfen“, also ein Prüfkriterium zur Zuordnung boolscher Werte ist, ist der Vollwinkel gesetzliche Maßeinheit. Bis etwa 1980 war aber auch der rechte Winkel als Rechter mit dem Einheitenzeichen ∟ in Deutschland üblich.

[Bearbeiten] Bogenmaß: 2 Pi

Während Kreis und Quadrat eher als gegensätzliche Elemente begriffen werden, und Anlass für zahlreiche Spekulationen und Interpretationen boten, wurden schon früh die relative Ähnlichkeit von Kreis und Sechseck erkannt: Bei ihm ergibt sich aus der Gleichheit von Kantenlänge und Umkreisradius eine Teilung in gleichseitige Dreiecke, sodass in ihm ausschließlich Winkel von sechzig Grad und deren Vielfache zu finden sind. Bei einem Radius von 1 beträgt die Länge des Polygonzugs 6. Dieser Wert wurde schon früh für den Kreisumfang als Wert angenommen, und ist Bestandteil zahreicher empirischer Formeln, die uns in alten Quellen überliefert sind. Insbesondere aber die chinesischen Naturalisten der vorchristlichen Zeit setzen 3 kanonisch als Maßzahl des halben Kreisumfangs fest und entwickelten einen leistungsfähigen Kalkül der Winkelmessungen, und können insofern als Erfinder des Bogenmaßes angesehen werden^[2]. Schon das Zhōu Bì Suàn Jīng chin. 周髀算经, W.-G. Chou Pei Suan Ching, dessen Wurzeln auf etwa 1200 v. Chr. datiert werden, formuliert die Winkelberechnung elementarer Dreiecke über das Sechseck^[3]. Diese durchaus vielversprechenden Ansätze verloren sich aber bald in einer komplizierten Numerologie und Zahlenmystik, die wissenschaftliche Weiterentwicklung durch Formalismen ersetzte, und sich in einer Zehntelung des Kreises (Himmelsstämme) und einer Zwölftelung (Erdzweige) eher deren Anordnung widmete^[4].

Eingang in die moderne Mathematik findet das Bogenmaß erst im ausgehenden 17. Jahrhundert über den Differentialkalkül, da Formeln wie und die Eulersche Identität nur für Argumente im Bogenmaß gelten.

[Bearbeiten] Gradmaß: 360, 400; Stundenmaß: 24

Ob es für die Entwicklung des Sexagesimalsystem eine Rolle spielte, dass sich in einen Kreis leicht ein regelmässiges Sechseck mit Umfang des sechsfachen Radius einschreiben lässt, wissen wir nicht. Aber schon aus Sumerischer Zeit ist die Verwendung einer Sechzigerteilung, wie auch einer Zwölferteilung des Kreises für astrometrische Winkelmessungen nachweisbar. Die Letzere ist im Zodiak („Tierkreis“) erhalten.

Belegt ist die Einteilung des Vollwinkels in 360 durch die frühen griechischen Astronomen, sie dürfte wohl auf babylonische Tradition zurückzuführen sein. Hypsikles von Alexandria verwendet sie im Anaphorikos 170 v. Chr., der Sternkatalog des Hipparch von Nikaia (190-120 v. Chr.) ist im Almagest des Ptolemäus überliefert (seine trigonometrische Tabelle aber ist nur mit einer 48er-Teilung des Kreises erstellt).

Es sind die Astronomen, die diese Maßzahl für den Vollkreis schätzten, nicht nur der vielfältigen Teilungsmöglichkeiten wegen, sondern auch im Kontext der Kalenderrechnung: Zum einen nähert die Zahl die 365 Tage des Jahres an, insbesondere aber lassen sich die Berechnungen der Hauptstellungen des Mondes, also seiner synodischen Periode von knapp 30 Tagen und das Lunarjahr von 354 (360 − 12) Tagen relativ zwanglos handhaben.

Diese Rechnungsoptionen waren für die islamischen Gelehrten in ihrer Berechnung des Neulichts - der Grundlage des ihres Kalenders – entscheidend und wurden als umfassendes Messprinzip das Gradmaß für Winkel in Astronomie, Geodäsie und Geometrie etabliert, etwa auf Astrolabium, Sextant, oder Dioptra^[5], und wurde auch in der westlichen Tradition ab dem 12. Jahrhundert weiterbehalten. Die Methode beinhaltet auch die sexagesimale Teilung des gradus („Schritt“ am Kreis) in pars minuta „veminderte Teilung“ und pars minuta secunda „nochmals vermindert“, das ist die Winkelangabe in Grad, Bogenminuten und Bogensekunden. Selten findet sich auch noch die veraltete Tertie („dritte Verminderung“).

Daneben war über die babylonischen Stunden (auch griechische Stunden), die Einteilung des Tages in zweimal zwölf Stunden üblich, und für Messungen in einem Maßsystem, das die Erdumdrehung widerspiegelt, war ein Zeitmaß üblich, das aus der Winkelangabe eine direkte Zeitmessung ermöglicht.

Ihre gemeinsame Wurzel zeigt sich in dem terrestrischen Längenwinkel (Längengrad), bei dem dem 360-Grad-Netz das der 24 Zeitzonen überlagert ist.

Die Schreibweise einer dezimale Angabe der Unterteilung eines Grades (mit Kommastellen) in Dezimalgrad ist erst Ende des Mittelalters in Arabien aufgekommen.

Obwohl die Geodäsie zu den Wissenschaftszweigen zählt, die an der Entwicklung des Gradmaßes ursächlich beteiligt waren, profitiert sie am wenigsten von der Zahl 360. In den 1790er Jahren wurde in Frankreich mit der Metrisierung begonnen, in deren Zuge das Urmeter als 40.000.000ter Teil des Erdumfangs definiert wurde. In der Nouvelle Triangulation de la France wurde ein neues Gradnetz entwickelt, das den Kreis in 400 Einheiten, die grade nouvelle (Neugrad) teilte, sodass am Äquator 1^gr exakt 100 Kilometern entsprach. Dieses geodätische Winkelmaß wird auch heute noch in der Geodäsie etwa für die Triangulation verwendet.

[Bearbeiten] Peilung: 32, 6400

Erweitert man den rechten Winkel (den Viertelkreis) um 2, erhält man einen Halbkreis, bei nochmaliger Erweiterung einen Vollkreis. Wendet man diesen Gedankengang auf die Halbierung an, erhält man einen Achtelkreis, dann einen Sechzehntelkreis und so fort. Im Unterschied zu den vorherigen Systemen der Winkelbestimmung eignet sich dieses Verfahren insbesondere für Bezugsysteme in Bewegung (Azimutales Koordinatensystem), die das eingangs erwähnte Prinzip vier ausgezeichneter Richtungen im Bezug zur Blickrichtung repräsentieren, und daher den rechten Winkel als Grundmaß verwenden.

Verwendung fand das System insbesondere in der nautischen Navigation zur Peilung der Position und des Kurswinkels. Hierbei erfolgt eine Teilung in vier Hauptrichtungen („Voraus“, „Steuerbord“, „Achteraus“, „Backbord“), vier Nebenrichtungen (Achtel), und das Zweiunddreißigstel des Vollkreises wird mit der Maßeinheit Nautischer Strich bedacht. Erst in Kombination mit dem Kompass erhält diese Windrose eine Ortsfeste Richtung (meist den Norden) und wird zur Kompassrose. In der Schifffahrt wird aber heute üblicherweise auch im Gradmaß mit Dezimalminuten gepeilt^[6].

Ein weiterer Anwendungsbereich, bei der die Ausrichtung unabhängig von ortsfesten Netz entscheidend ist, ist das Visieren in der Artillerie. Aufgrund der hohen Präzision, die erforderlich ist – und einem rechentechnischen Vorteil in der Umwandlung von Visiereinteilung am Fadennetz in Entfernung des anvisierten Objekts – wird der Vollkreis in 6400 Artilleristische Striche (Schweizer Armee: Artilleriepromille, nordfest) eingeteilt.

[Bearbeiten] Siehe auch

• Geschichte von Maßen und Gewichten

[Bearbeiten] Einzelnachweise

1. ↑ Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. Campus, Frankfurt am Main, New York 1986, 1991. Originaltitel: Histoire universelle des chiffres. dt. Alexander von Platen. ISBN 3-593-34192-1
2. ↑ Die Zahl, S. 100ff. In: Marcel Granet: Das chinesische Denken. Piper, München 1963. Originaltitel: La pensée chinoise. Albin Michel, Paris 1936, dt. Manfred Porkert. ISBN 3-518-28119-4
3. ↑ Granet, S.201ff
4. ↑ Die grundlegenden Ideen der chinesischen Wissenschaft, S. 163ff. In: Joseph Needham: Wissenschaft und Zivilisation in China. Band 1. Surrkamp, Frankfurt am Main 1984. Originaltitel: The shorter science and civilisation in China. University Press, Cambridge 1978, dt. Rainer Herbster. ISBN 3-518-57692-5
5. ↑ Die arabischen Zahlbuchstaben. Ifrah, S. 307ff
6. ↑ Format international: ggg° mm.m’ – DIN 13 312 Navigation