Windungszahl

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten (Unterschied zur vorletzten Version).

Die Windungszahl (auch Umlaufzahl oder Index genannt) ist eine topologische Invariante, die eine entscheidende Rolle in der Funktionentheorie spielt.

Die Windungszahl einer Kurve $γ$ in Bezug zu einem Punkt $z 0$ stellt die Anzahl der Umrundungen entgegen der Uhrzeigerrichtung um $z 0$ dar, wenn man dem Verlauf der Kurve folgt. Eine Umrundung in Uhrzeigerrichtung ergibt eine negative Windungszahl.

Windungszahl = 1	Windungszahl = -1	Windungszahl = 0	Windungszahl = 1	Windungszahl = 2

[Bearbeiten] Definition

Ist $γ$ eine geschlossene Kurve in $\mathbb{C}$ und ist ferner $z 0$ ein Punkt in $\mathbb{C}$ , der nicht auf $γ$ liegt, dann ist die Windungszahl von $γ$ in Bezug zu $z 0$ definiert als:

$\operatorname{ind}_{\gamma} (z_0) = n(\gamma,z_0) := \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int_\gamma \frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta - z_0} \in\mathbb{Z}$

Die Windungszahl wird in der Literatur oft auch mit $I$ oder $χ$ bezeichnet. Man kann zeigen, dass die Windungszahl stets eine ganze Zahl ist.

[Bearbeiten] Berechnung

Intuitiv lässt sich die Windungszahl nach folgender Formel berechnen:

$\operatorname{ind}_{\gamma} (z_0)$	$=$ Anzahl der Umläufe von $γ$ um $z 0$ entgegen dem Uhrzeigersinn
	$-$ Anzahl der Umläufe von $γ$ um $z 0$ im Uhrzeigersinn

Die Berechnung über die Definition ist oft nicht ohne Weiteres möglich. Einen Anfang kann man machen, indem man die Kurve auf dem Rand des Einheitskreises $\gamma\colon[0,2\pi]\to\mathbb{C}$ , $t\mapsto e^{\mathrm{i}t}$ betrachtet. Nach der intuitiven Regel ist $\operatorname{ind}_{\gamma}(z)=1$ für alle $z\in\mathbb{E}$ und $\operatorname{ind}_{\gamma}(z)=0$ für alle $z\in\mathbb{C}\setminus\bar\mathbb{E}$ . Letzteres folgt sofort mit dem Integralsatz von Cauchy und der Definition. Sei nun $f\colon\mathbb{E}\to\mathbb{C}$ , $z\mapsto \operatorname{ind}_{\gamma}(z)$ . Es gilt

$\operatorname{ind}_{\gamma}(0) = f(0) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\gamma\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta} = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_0^{2\pi}\frac{\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}}{e^{\mathrm{i}t}}\mathrm{d}t = 1$ .

Durch Vertauschen von Differentiation und Integration ist $f'(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int_\gamma \frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta - z\right)^2}$ , und weil $\zeta\mapsto -\frac{1}{\zeta-z}$ eine Stammfunktion des Integranden ist, ist $f'\equiv 0$ . Weil $\mathbb{E}$ zusammenhängend ist, ist also $f(z)=\operatorname{ind}_{\gamma}(z)=1$ für alle $z\in\mathbb{E}$ .

[Bearbeiten] Algorithmus

Windungszahl der Flächen eines nicht simplen Polygons. Die Windungszahl, für die Fläche, in welcher sich der Punkt befindet ist 1, d.h. er liegt innerhalb des Polygons (graue Fläche). Jede Fläche hat eine feste Windungszahl.

In der algorithmischen Geometrie wird die Windungszahl verwendet, um zu bestimmen, ob ein Punkt außerhalb oder innerhalb eines nicht simplen Polygons (Polygon, bei welchem sich die Kanten überschneiden) liegt. Für simple Polygone vereinfacht sich der Algorithmus zur even-odd Regel.

Für Polygone (Kantenzüge), bei welchen sich die Form aus Liniensegmenten zusammensetzt verwendet man für die Berechnung der Windungszahl folgenden Algorithmus:

1. Suche eine Halbgerade welche keine Eckpunkte des Polygons enthält
2. Setze die Windungszahl auf 0
3 Schneidet die Halbgerade eine Polygonkante, welche von „links nach rechts“ orientiert ist (Punkt liegt auf der rechten Seite der Halbgeraden) erhöhe die Windungszahl um 1
4. Schneidet die Halbgerade eine Polygonkante, welche von „rechts nach links“ orientiert ist (Punkt liegt auf der linken Seite der Halbgeraden) verkleinere die Windungszahl um 1.
5. Falls Windungszahl = 0, so liegt der Punkt außerhalb, sonst innerhalb des Kantenzugs.

In nebenstehendem Beispiel ist die Halbkante mit der gestartet wird der senkrechte Pfeil. Er schneidet drei Halbgeraden des Polygons. Bezüglich der roten Kante liegt der Punkt rechts (W=1). Bezüglich der nächsten Kante liegt der Punkt auch rechts (W=2) und bez. der letzten Kante liegt der Punkt links (W=1). Der Punkt liegt innerhalb des Polygons. Die Polygonfläche ist grau hinterlegt.