Diskussion:Struktur (Mathematik)

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Ich verstehe nicht, was hier mit Struktur gemeint ist. Eine algebraische Struktur ist das jedenfalls nicht (diesbezügliche Links hab ich schon umgebogen). Spricht dieser Artikel über Graphen oder Verallgemeinerungen davon? --SirJective 16:47, 22. Sep 2003 (CEST)

[Bearbeiten] Unverständlich

Die Verlinkung der meisten Begriffe ist Unsinn. Eine Definition des Begriffes "Struktur" ist nicht zu erkennen.--Gunther 02:39, 30. Mär 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Mein Vorschlag zur Überarbeitung

Hallo, der Artikel soll überarbeitet werden. Ich möchte dazu einen Vorschlag für einen neuen Aufbau machen:

(a) Vage, umgangssprachliche "Definition", etwa in der Art: "Eine Struktur ist eine Menge, die mit zusätzlichen Beziehungen zwischen ihren Elementen ausgestattet ist."

(b) Einleitendes Beispiel: Die Trägermenge N (natürliche Zahlen) mit 3 verschiedenen Strukturen: Addition, Multiplikation, Kleiner (oder Kleiner-Gleich).

(c) Verweis auf ganze Klassen von Beispielen:

• algebraische Strukturen, etwa Halbgruppen, Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume
• Ordnungsstrukturen
• metrische/topologische Räume
• Graphen

(d) Erwähnung von "strukturerhaltenden Abbildungen", evtl. mit Beispielen.

(e) Erwähnung der Kategorientheorie, Verweis auf konkrete Kategorie (dazu ist leider noch kein Artikel da).

Für mich ist "Struktur" im hier gemeinten Sinn eigentlich dasselbe wie "konkrete Kategorie", allerdings möchte ich den vorliegenden Artikel weitgehend frei von Kategorien halten, damit auch diejenigen Leser, die sich damit nicht beschäftigen wollen, noch einen Nutzen daraus ziehen können. Wie ihr seht, wird auch keine exakte Definition geliefert, sondern eher eine Liste von Beispielen, die durch Verweise abgedeckt sind.

Was meint Ihr dazu?

Gruß von -- Wasseralm 20:40, 8. Sep 2005 (CEST)

Zunächst einmal ein paar Links zu vergangenen Diskussionen: Löschdiskussion vom Juni, ältere Diskussion vom April.

Ich denke, dass man "Struktur" nicht allgemein definieren kann, höchstens algebraische Struktur o.ä. Zu (a): Für mich ist Struktur eben nicht die Menge mit Zusatzdaten, sondern nur die Zusatzdaten, vgl. die Sprechweise "Gruppenstruktur auf einer Menge". Ich kenne mich mit konkreten Kategorien nicht aus, aber ich nehme mal an, dass die Schemata der algebraischen Geometrie keine konkrete Kategorie bilden, und ich sehe keinen grundsätzlichen Unterschied zwischen Schemata und beispielsweise Mannigfaltigkeiten.--Gunther 12:03, 9. Sep 2005 (CEST)

Hallo Gunther, ich denke, beide Sprechweisen sind verbreitet: "Gruppenstruktur auf einer Menge", aber auch "eine Gruppe ist eine algebraische Struktur", und da gehört die Grundmenge eben dazu. Ich tendiere zu der 2. Lösung. Ich glaube auch, dass man den Begriff nicht allgemein definieren kann. "Konkrete Katgorie" wäre aber eine gute Näherung (mMn). Eine konkrete Kategorie C hat einen treuen Funktor in die Kategorie Set der Mengen, d. h. jedes Objekt von C kann als Menge aufgefasst werden und jeder Morphismus von C als Abbildung. Ich will aber auf der konkreten Kategorie nicht herumreiten, anere mögen vielleicht die Kategorie selbst als präzise Formulierung von mathematischen Strukturen ansehen, oder noch etwas anderes. Von der Tendenz her schwebt mir ein (nicht zu langer) Artikel vor ähnlich dem englischen "Mathematical structure". Gruß von -- Wasseralm 14:59, 9. Sep 2005 (CEST)

Wie gesagt, ich habe mich damit nicht genauer auseinandergesetzt, deshalb kenne ich auch keinen Beweis, dass die Schemata keine konkrete Kategorie bilden, aber es erscheint mir ziemlich unwahrscheinlich. Funktoren der Form (die man z.B. im Fall von Gruppen oder topologischen Räumen verwenden kann) funktionieren jedenfalls nicht.--Gunther 19:26, 9. Sep 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Struktur in der mathematischen Logik

In der mathematischen Logik ist Struktur ein Grundbegriff. Leider ist die Definition etwas unhandlich. So braucht man auf jeden Fall den Begriff einer Signatur. Ich habe es mal probiert, es sind aber leider doch zwei A4-Seiten geworden - eigentlich etwas zu lang: ...

--Joachim 213.7.59.117 21:01, 2. Dez 2005 (CET)

Ich habe es nochmal versucht kürzer zu fassen:

Eine Struktur M ist eine nichtleere Menge M zusammen mit gewissen ausgezeichneten Konstanten, Relationen und Funktionen.

Die Menge M wird auch Grundberich der Struktur M (dom(M)) genannt.

Ist die Anzahl der Konstanten, Funktionen und Relationen endlich und seinen k_1, ... , k_n, die Konstanten, R_1, ... R_m die Relationen und f_1, ... f_r die Funktionen, so schreibt man auch M=(M, k_1, ... , k_n, R_1, ... , R_m, f_1, ... , f_r). (Die Anzahl der Konstanten kann auch unendlich sein. Z.B. wenn man bei einer unendlichen Menge (wie die natürlichen Zahlen) für jedes Element ein Konstantensymbol dazu nimmt, um Aussagen über die einzelnen Zahlen machen zu können.)

Eine Struktur in der keine Funktionen oder Konstanten vorkommen heißt relationale Struktur. Eine Struktur in der keine Relationen vorkommen heißt algebraische Struktur.

Bekannte Strukturen sind: Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume, Graphen, Ordnungen.

Oft betrachtet man ganze Klassen von Strukturen. Daher ist es sinnvoll zwischen dem Symbol und seiner konkreten Bedeutung in einem bestimmten Modell zu unterscheiden. Dadurch erhält man eine Symbolmenge, die zusammen mit der Stellenzahl die Signatur der zugehörigen Sprache bezeichnet. Wenn man nun die Symbole in einer bestimmten Struktur M belegt, schreibt man k_1^M, ... k_n^M, R_1^M und so weiter.

Beispiel:

(c_0, c_1; R_0; f_0, f_1, f_2) sei die Signatur der Sprache.

Dabei seien c_0 und c_1 Konstantensymbole, denen die Stellenzahl 0 zugeordnet wird,

R_0 sei ein zweistelliges (d.h. ihm wird die Stellenzahl 2 zugeordnet) Relationssymbol,

f_0, f_1, f_2 seien zweistellige Funktionssymbole.

1) dom(M) sei die ganzen Zahlen,

c_0^M sei die 0 in den ganzen Zahlen,

c_1^M sei die 1 in den ganzen Zahlen,

R_0^M(a,b) gelte genau dann, wenn a < b,

f_0^M sei die Addition in den ganzen Zahlen,

f_1^M sei die Substraktion in den ganzen Zahlen,

und f_2^M sei die Multiplikation in den ganzen Zahlen.

Damit ist M die ganzen Zahlen mit Addition, Subtraktion, Multiplikation und Ordnung, wie man sie kennt.

Man kann die Symbole aber auch anders interpretieren, z.B.:

2) Sei N eine andere Struktur als M in derselben Sprache, dom(N) := Menge der ganzen Zahlen.

Die Signatur sei dieselbe wie zuvor, nur belegen wir die Symbole jetzt anders:

c_0^N := 55

c_1^N := -723

R_0^N(a,b) gelte genau dann, wenn a*b durch zwei teilbar ist

f_0^N := b^a

f_1^N := 23 (also die Funktion, welche konstant dreiundzwanzig beleibt)

f_2^N := a² falls a eine Primzahl ist; ansonsten b¹¹

Die Struktur N ist jetzt natürlich nicht wirklich interessant, so ist sie nicht mal eine Gruppe (egal für welche der drei Funktionen). Aber es ist eine mögliche Struktur.

Eine Struktur die eine widerspruchsfreie Menge von Formeln erfüllt, heißt Modell.

-- Joachim 141.20.51.175 18:15, 4. Jan 2006 (CET)

Hallo Joachim, das war zwar viel Arbeit, ist aber für den allgemeinen Begriff "Struktur" zu speziell. Viele Strukturen in der Mathematik sind mehrsortig (zB reelle Zahlen zusammen mit stetigen Funktionen), und/oder Strukturen höherer Ordnung (z.B. Topologien, Maßräume etc) --Wuzel 18:19, 11. Apr 2006 (CEST)

Ganz im Gegenteil. Als Grundbereich kann man durchaus etwas Mehrsortiges nehmen. Die Relations-, Konstanten- und Funktionssymbole müssen dann nur entsprechend gekennzeichnet werden, damit klar ist, welche Elemente von M "passen".

Auch Topologien und Maßräume kann man als solche Strukturen auffassen. Eine Möglichkeit wäre folgende:

Wir wollen eine Topologie über der Menge X als Struktur M darstellen:

Der Grundbereich von M ist die Potenzmenge von X.

Es gibt zwei Konstantensymbole: eines für die leere Menge und eines für die Menge X.

Ausserdem haben wir noch zwei zweistellige Funktionen:

Einmal die Vereinigung und zum anderen die Mengensubtraktion. (Den Durchschnit können wir damit definieren.)

Fertig. (Für die Funktionen gelten noch bestimmte Eigenschaften, wenn wir aber nur die Topologie als Struktur aufzufassen (und nicht weiter damit herumhantieren) wollen,ist es jedoch nicht nötig diese zu formulieren.)

Ein Maßraum ist ja auch "nur" ein Tupel aus einer Grundmenge, einer Sigma-Algebra und einem Maß. Zugegebenermassen wird es hier etwas komplizierter (und somit für einen Artikel vielleicht nicht so gut geeignet), aber es geht auch.

Allerdings hast du recht, dass man die Mehrsortigkeit auch erwähnen sollte. Und ich glaube der Grundbereich muss nicht unbedingt eine Menge (sondern kann auch eine Klasse) sein, bin ich mir aber nicht ganz sicher (muss ich nochmal nachprüfen).

Die Definition ist natürlich etwas abstrakt. Daher wäre eine vage Beschreibung und ein einleitendes Beispiel (wie oben vorgeschlagen) vor der Definition sicher ganz gut.

-- Joachim 88.73.90.23 16:41, 29. Apr 2006 (CEST)