Satz von Baire

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

In der Mathematik macht der Satz von Baire (auch als Baire'scher Kategoriensatz bezeichnet) im Wesentlichen eine Aussage darüber, dass sich vollständige metrische Räume nicht als abzählbare Vereinigung von "mageren" Mengen schreiben lassen.

Der Satz wurde 1899 von R. Baire für den Speziallfall des euklidischen Raumes bewiesen. Der Satz findet heute u.a. Anwendung in der Funktionalanalysis.

Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Baire-Kategorie 3 Baire'scher Kategoriensatz 3.1 Verallgemeinerung 4 Anwendungen 4.1 Beispiel 5 Vergleich mit Maßtheorie 6 Literatur

[Bearbeiten] Aussage

Sei ein vollständiger metrischer Raum und eine Folge offener und dichter Teilmengen von . Dann ist auch dicht in .

Mit Hilfe der De Morganschen Regeln lässt sich diese Aussage umformulieren zu:

Sei ein vollständiger metrischer Raum und eine Folge abgeschlossener Teilmengen von mit . Dann gibt es ein so, dass eine offene Kugel enthält - mit anderen Worten: die Folge kann nicht nur aus nirgends dichten Teilmengen bestehen.

[Bearbeiten] Baire-Kategorie

Sei ein topologischer Raum (insbesondere z.B. ein metrischer Raum).

• Eine Teilmenge heißt von 1. Baire-Kategorie (oder mager), falls es eine Folge von nirgends dichten Teilmengen mit gibt.
• Falls eine Teilmenge nicht von 1. Baire-Kategorie ist, dann heißt sie von 2. Baire-Kategorie (oder fett)

Aus der zweiten Formulierung des Satzes von Baire folgt mit diesen Begriffen nun der

[Bearbeiten] Baire'scher Kategoriensatz

In einem vollständigen metrischen Raum liegt das Komplement einer Menge von 1. Baire-Kategorie dicht und ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum in sich selbst von 2. Baire-Kategorie.

[Bearbeiten] Verallgemeinerung

Der Baire'sche Kategoriensatz beschreibt eine topologische Eigenschaft und gilt damit in jedem topologischen Raum, der zu einem vollständigen metrischen Raum homöomorph ist. Der Satz ist zudem auch noch auf kompakte Hausdorff-Räume anwendbar.

[Bearbeiten] Anwendungen

Der Satz von Baire ermöglicht elegante Beweise zentraler Sätze der klassischen Funktionalanalysis:

• Satz von Banach-Steinhaus
• Satz über die offene Abbildung

[Bearbeiten] Beispiel

Als einfaches Beispiel der Anwendung des Satzes von Baire soll gezeigt werden, dass jeder unendlich-dimensionale Banachraum eine überabzählbare Basis hat.

Beweis durch die Gegenannahme, es gäbe eine abzählbare Basis des Banachraumes . Sei . Dann gilt:

• als endlich-dimensionale Vektorräume sind die abgeschlossen,
• ihre Vereinigung ergibt den ganzen Raum: .

Nach dem Satz von Baire muss einer der eine Kugel enthalten. Ein Untervektorraum, der eine Kugel enthält, ist aber immer der ganze Raum. Dadurch würde zu einem endlich-dimensionalen Raum, was zu einem Widerspruch führt.

[Bearbeiten] Vergleich mit Maßtheorie

Aus der Maßtheorie ist bekannt, dass sich der Raum , versehen mit dem Hausdorff- bzw. Lebesgue-Maß nicht als abzählbare Vereinigung von Nullmengen schreiben lässt. Ersetzt man den Begriff Nullmenge durch magere Menge erhält man in diesem Speziallfall die Aussage des Baire'schen Kategoriensatzes. Die Baire'schen Kategorien können somit als topologisches Analogon zur Maßtheorie gesehen werden. In der Tat bestehen weitreichende Gemeinsamkeiten; diese werden im Buch von Oxtoby: Measure and Category ausführlich beschrieben.

[Bearbeiten] Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7
• J. C. Oxtoby: Measure and Category. Springer Verlag, 1980. ISBN 3-540-90508-1 (Vergleich mit Maßtheorie)