Teorema della categoria di Baire

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Il Teorema della categoria di Baire è un importante strumento della topologia generale e dell' analisi funzionale. Il teorema è disponibile in due versioni, ciascuna delle quali fornisce una condizione sufficiente affinché uno spazio topologico sia uno spazio di Baire.

Indice 1 Enunciato del teorema 2 Relazione con l'Assioma della Scelta 3 Applicazioni del teorema 4 Bibliografia

[modifica] Enunciato del teorema

• (TCB1) Ogni spazio metrico completo non vuoto è uno spazio di Baire. Più in generale, ogni spazio topologico omeomorfo ad un sottoinsieme aperto di uno spazio pseudometrico completo è uno spazio di Baire. In particolare, ogni spazio topologicamente completo è uno spazio di Baire.
• (TCB2) Ogni spazio di Hausdorff localmente compatto non vuoto è uno spazio di Baire.

Nessuna delle due proposizioni implica l'altra poiché non necessariamente uno spazio metrico completo è localmente compatto (un esempio è dato dallo spazio di Baire dei numeri irrazionali) così come uno spazio di Hausdorff localmente compatto non è necessariamente metrizzabile (un esempio è dato dallo spazio di Fort non numerabile). Per ulteriori dettagli, si veda Steen e Seebach in bibliografia.

[modifica] Relazione con l'Assioma della Scelta

Le dimostrazioni di entrambe le versioni richiedono l' Assioma della scelta; infatti la proposizione che ogni spazio pseudometrico completo è uno spazio di Baire è logicamente equivalente ad una più debole formulazione dell'Assioma della Scelta nota come Assioma della scelta dipendente. [1]

[modifica] Applicazioni del teorema

TCB1 è utilizzato nelle dimostrazioni del teorema della funzione aperta, del teorema del grafico chiuso e del principio dell'uniforme limitatezza.

TCB1 mostra inoltre che ogni spazio metrico completo privo di punti isolati è non numerabile (se X è uno spazio metrico completo numerabile privo di punti isolati, allora ogni singoletto {x} in X è denso in nessun luogo e pertanto X stesso è di prima categoria). In particolare, ciò prova che l'insieme di tutti i numeri reali è non numerabile.

TCB1 mostra che ciascuno dei seguenti insiemi è uno spazio di Baire:

• L'insieme R dei numeri reali
• L' insieme di Cantor
• Ogni varietà (in quanto insiemi localmente compatti)
• Ogni spazio topologico omeomorfo ad uno spazio di Baire (per esempio, l'insieme dei numeri irrazionali che non è completo rispetto alla metrica ereditata da R)

Ulteriori applicazioni di TCB1 e le sue relazioni con fenomeni simili sono riportate in Bwatabaire (il sito è quasi interamente in francese; alcune pagine sono in inglese).

[modifica] Bibliografia

• Schechter, Eric, Handbook of Analysis and its Foundations, Academic Press, ISBN 0-126-22760-8
• Lynn Arthur Steen e J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Springer-Verlag, New York, 1978. Ristampato da Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).