Reduktionsverfahren von d'Alembert

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Das Reduktionsverfahren von d'Alembert ist ein Verfahren aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen. Es wird verwendet um eine homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit einer gegebenen Lösung auf eine homogene lineare Differentialgleichung (n-1)-ter Ordnung zurückzuführen.

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemein
- 1.1 Verfahren bei n-ter Ordnung
- 1.2 Allgemeine Herleitung
2 Speziell
- 2.1 Homogene lineare DGL zweiter Ordnung

[Bearbeiten] Allgemein

[Bearbeiten] Verfahren bei n-ter Ordnung

Sei $\sum_{i=0}^n p_i y^{(i)} = 0\!$ eine homogene lineare DGL n-ter Ordnung und y₁ eine Lösung mit y₁ ≠ 0.

Da die Lösungen des Fundamentalsystems linear unabhängig sind, folgt: $v = yy_1^{-1}$ ist linear unabhängig zu y₁

Der Ansatz $y = vy_1\!$ führt zu einer homogenen linearen DGL (n-1)-ter Ordnung der Form:

$\sum_{i=0}^{n-1} \tilde{p}_i z^{(i)} = 0\!$ mit z = v^'.

[Bearbeiten] Allgemeine Herleitung

Nach dem Einsetzten des Ansatzes y = vy₁ in unsere DGL erhalten wir: $\sum_{i=0}^n p_i (vy_1)^{(i)} = 0\!$

Mit Hilfe des binomischen Satzes kann nun nach v⁽ⁱ⁾ umgeformt werden:

$v \sum_{i=0}^n p_i y_1^{(i)}(t) + v' \sum_{i=1}^n {i \choose 1} p_i y_1^{(i-1)} + \cdots + v^{(n)} p_n y_1 = 0\!$

beziehungsweise: $v \tilde{p} + v' \tilde{p}_0 + \cdots + v^{(n)} \tilde{p}_{n-1} = 0\!$

Da $\tilde{p}$ aber genau unsere betrachtete DGL ist und y₁ ein Lösung davon, folgt $v \tilde{p} = 0$ und es ergibt sich für v^' eine lineare homogene DGL (n-1)-ter Ordnung.

Durch die Substitution von v^' durch z ergibt sich schließlich: $\sum_{i=0}^{n-1} \tilde{p_{i}} z^{(i)} = 0\!$ .

[Bearbeiten] Speziell

[Bearbeiten] Homogene lineare DGL zweiter Ordnung

Sei $y'' + p y' + q y = 0$ ein homogenes lineares DGL und y₁ eine Lösung, dann gilt für den Ansatz $y 2 = v y 1$ :

$y'' + p y' + q y$	$= (v y 1)'' + p (v y 1)' + q (v y 1)$
	$= (v'' y 1 + 2 v' y 1' + v y 1'') + p (v' y 1 + v y 1') + q (v y 1)$
	$= v (y 1'' + p y 1' + q y 1) + v'(2 y 1' + p y 1) + v''(y 1)$
	$= v'(2 y 1' + p y 1) + v''(y 1)$
	$= z (2 y 1' + p y 1) + z' y 1 = 0$