Variation der Konstanten

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Die Methode der Variation der Konstanten ist ein Verfahren aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen und wird zur Lösung inhomogener linearer Differentialgleichungen verwendet.

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemein
- 1.1 Verfahren bei n-ter Ordnung
- 1.2 Allgemeine Herleitung
2 Speziell
- 2.1 Inhomogene lineare DGL erster Ordnung

[Bearbeiten] Allgemein

[Bearbeiten] Verfahren bei n-ter Ordnung

Sei $\sum_{i=0}^n p_i(x) y^{(i)}(x) = q(x)\!$ eine inhomogene lineare Differentialgleichung (DGL) n-ter Ordnung.

Ausgehend von einer vollständigen Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung erweitert man dieses durch Funktionen δ und erhält mit Hilfe des Ansatzes:

$y(x) = \sum_{i=0}^n \delta_i(x) y_i(x)\!$ , mit $\delta_i = \int_a^x {w_i\,q \over w\,p_n}\,\mathrm{d}t\!$

eine zulässige Lösung y, welches die Differentialgleichung erfüllt.

Dabei ist:

w die Wronski-Determinante von Y
Y eine Fundamentalmatrix der zugehörigen homogenen DGL

[Bearbeiten] Allgemeine Herleitung

Vorbemerkung:

Eine lineare DGL n-ter Ordnung lässt sich als lineares Gleichungssytem in Matrixschreibweise beschreiben durch:

$y' = F y + f$ ⇔ $y' - F y - f = 0$
Sei Y eine Fundamentalmatrix ihrer zugehörigen homogenen DGL, dann folgt: $Y' = F Y$

Sei eine inhomogene lineare DGL nach (1) mit der Fundamentalmatrix Y der zugehörigen homogenen linearen DGL gegeben, so führt der Ansatz $y = Y δ$ zu einer zulassigen partikulären Lösung der DGL, falls gilt:

$y' - F y - f$	$= (Y δ)' - F Y δ - f$
	$= Y δ' + Y'δ - F Y δ - f$
	$= Y δ' + F Y δ - F Y δ - f$
	$= Y δ' - f = 0$

Da die Fundamentalmatrix $Y$ invertierbar ist kann nach $δ'$ umgestellt werden. Durch Integration auf dem Intervall $I$ folgt somit:

$\delta = \int_a^x Y^{-1}\,f\,\mathrm{d}t\!$ , mit $f = e_n {q \over p_n}\!$

Nach der Cramer’schen Regel und dem Einsetzen der Wronski-Determinante kann $δ i$ schließlich in die vorhergehend angegebenen Form gebracht werden:

$\delta_i = \int_a^x {\det(Y_i)\,q \over \det(Y)\,p_n}\,\mathrm{d}t = \int_a^x {w_i\,q \over w\,p_n}\,\mathrm{d}t\!$

[Bearbeiten] Speziell

[Bearbeiten] Inhomogene lineare DGL erster Ordnung

Sei $y' = p y + q$ eine inhomogene lineare DGL erster Ordnung und y_h die Lösung der zugehörigen homogenen DGL $y h' = p y h$ , dann gilt für den Ansatz $y p = δ y h$ :

$y' - p y - q$	$= (δ y h)' - p (δ y h) - q$
	$= δ' y h + δ y h' - p δ y h - q$
	$= δ' y h + δ p y h - p δ y h - q$
	$= δ' y h - q = 0$

Dieses nach $δ$ aufgelöst ergibt: $\delta' = q y_h^{-1}$

Durch Integration gelangt man in Kenntnis von δ selbst, und in den Ansatz eingesetzt zu einer speziellen Lösung der ursprünglichen inhomogenen Differentialgleichung:

$y_p(x) = y_h(x) \int_a^x {q(t) \over y_h(t)}\,\mathrm{d}t\!$