Quotientenkörper

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In der Algebra ist der Quotientenkörper eines Rings (mit bestimmten Eigenschaften) eine Obermenge dieses Rings, auf welche die Addition und die Multiplikation des Rings fortgesetzt werden und in der jedes Element außer $0$ ein multiplikatives Inverses besitzt. Das prominenteste Beispiel sind die rationalen Zahlen als Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen. Eine Verallgemeinerung des Konzepts für nicht notwendigerweise nullteilerfreie Ringe ist durch die Lokalisierung gegeben.

[Bearbeiten] Definition

Es sei $R$ ein Integritätsring. Der kleinste Körper, in den $R$ eingebettet werden kann, wird der Quotientenkörper oder Körper der Brüche des Integritätsrings genannt; gebräuchlich ist die symbolische Abkürzung $\operatorname{Quot}(R)$ .

[Bearbeiten] Bemerkung

Jeder Integritätsring kann in einen Körper eingebettet werden und besitzt deshalb „seinen“ Quotientenkörper.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Ist $R$ ein Integritätsring, dann haben die Elemente des Quotientenkörpers die Form $a / b$ mit $a,b\in R$ und $b\neq 0$ .

Der Quotientenkörper eines Körpers ist bis auf Isomorphie der Körper selbst.

Abstrakt definiert man den Quotientenkörper eines Ringes $R$ durch folgende universelle Eigenschaft: Ein Quotientenkörper ist ein Paar $(\operatorname{Quot}(R), i)$ , wobei $\operatorname{Quot}(R)$ ein Körper und $i\colon R\to\operatorname{Quot}(R)$ ein injektiver Ringhomomorphismus ist mit der Eigenschaft, dass es für jeden Körper $K$ und jeden injektiven Ringhomomorphismus $f\colon R\to K$ genau einen Körperhomomorphismus $g\colon\operatorname{Quot}(R)\to K$ gibt mit $f=g\circ i$ .

Aus der letztgenannten Eigenschaft folgt, dass $\operatorname{Quot}(R)$ der kleinste $R$ enthaltende Körper ist, und dass dieser bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig bestimmt ist (also ist es gerechtfertigt, von „dem“ Quotientenkörper zu sprechen).

[Bearbeiten] Konstruktion

Man kann den Quotientenkörper $(\operatorname{Quot}(R), i)$ eines Integritätsrings $R$ wie folgt konstruieren:

Erkläre auf $M:=R\times(R\setminus\{0\})$ eine Äquivalenzrelation

$(a,b) \sim (c,d) \quad :\iff \quad ad=cb$ .

Sei $a / b$ die Äquivalenzklasse von $(a, b)$ , und damit $Q$ die Menge der Äquivalenzklassen

$Q:=M/{\sim}=\left\{a/b \, | \, (a,b)\in M\right\}$ .

Definiere auf $Q$ die Addition und Multiplikation wie folgt:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d} := \frac{ad+cb}{bd} \qquad \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} := \frac{ac}{bd}$

Das neutrale Element bezüglich der Addition ist $\frac{0}{1}$ , das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist $\frac{1}{1}$ .
Für $\frac{a}{b}$ ist das Inverse bezüglich der Addition durch $\frac{-a}{b}$ gegeben, für $a\neq 0$ ist das Inverse bezüglich der Multiplikation durch $\frac{b}{a}$ gegeben.
Damit ist $(Q, +, \cdot)$ ein Körper, insbesondere ist $i\colon R\to Q$ , $a\mapsto a/1$ ein injektiver Ringhomomorphismus, welcher die gewünschte Einbettung vermittelt. Es gilt $\operatorname{Quot}(R)=(Q, +, \cdot)$ .

Für die Wohldefiniertheit der Struktur von $\operatorname{Quot}(R)$ ist die Kürzungsregel in Integritätsringen entscheidend, d.h. dass für $a\neq 0$ aus $a x = a y$ stets $x = y$ folgt. Dies folgt leicht aus der Nullteilerfreiheit des Rings.

[Bearbeiten] Beispiele

Der Quotientenkörper des Rings $R=\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen ist der Körper $\operatorname{Quot}(\mathbb{Z})=\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen.
Sei $\mathcal{O}(\mathbb{C})$ der Integritätsring der ganzen Funktionen und $\mathcal{M}(\mathbb{C})$ der Körper der auf $\mathbb{C}$ meromorphen Funktionen. Mit dem Produktsatz von Weierstraß sieht man, dass man jede auf $\mathbb{C}$ meromorphe Funktion als Quotient zweier ganzer Funktionen schreiben kann, d.h. es ist $\mathcal{M}(\mathbb{C}) = \operatorname{Quot}(\mathcal{O}(\mathbb{C}))$ .