Universelle Eigenschaft
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Eine universelle Eigenschaft ist eine Methode der Mathematik, und dort insbesondere der abstrakten Algebra, sich eine gewünschte Struktur ohne Angabe einer konkreten Konstruktion zu verschaffen. Dabei wird für Elemente einer bestimmten Kategorie K, z.B. die Kategorie der abstrakten Algebren, eine Eigenschaft festgelegt, z.B. dass es von einem Vektorraum V eine injektive Abbildung in die Algebra gebe.
Die Universalkonstruktion besteht nun darin, die Existenz eines "kleinsten" Elements U der Kategorie zu behaupten, das die Eigenschaft erfüllt. Im Beispiel wäre das die Tensoralgebra TV von V. "Kleinstes" zu sein bedeutet, dass zu jedem Element W der Kategorie K, das die geforderte Eigenschaft erfüllt, einen eindeutig bestimmten Morphismus f:U->W gibt, der mit der Eigenschaft verträglich ist, im Beispiel mit der Einbettung von V kommutiert.
Das "kleinste" Element muss nicht eindeutig bestimmt sein, jedoch sind alle "kleinsten" Elemente, sofern existent, isomorph. Als Existenzbeweis wird meistens eine konkrete Konstruktion angegeben, jedoch sind meistens die Details der Konstruktion für die Theorie der Struktur unwesentlich.
Beispiele:
- die Tensoralgebra, siehe oben.
- die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums als kleinster Unterraum, der diese Menge enthält.
- die affine Hülle einer Teilmenge eines affinen Raums ...
- die konvexe Hülle einer Teilmenge eines affinen Raums ...
- den topologischen Abschluss einer Teilmenge eines topologischen Raums ...
- das Innere einer Teilmenge eines topologischen Raums als größte offene Menge, die in der Teilmenge enthalten ist.
