Optimale Steuerung
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Die Theorie der optimalen Steuerungen ist eng verwandt mit der Variationsrechnung und der Optimierung. Eine optimale Steuerung u ist eine Funktion, welche eine gegebene Zielfunktion unter einer Differentialgleichungs-Nebenbedingungen und eventuell noch weiteren Restriktionen minimiert oder maximiert.
Zum Beispiel könnte ein Autofahrer versuchen, ein Ziel in möglichst geringer Zeit zu erreichen. Wann schaltet der Autofahrer am besten? Möglicherweise müssen gewisse Nebenbedingungen, z.B. Geschwindigkeitsbegrenzungen eingehalten werden. Ein anderer Autofahrer versucht dagegen vielleicht den Benzinverbrauch zu minimieren, d.h. er wählt eine andere Zielfunktion. Es gibt mehrere mathematische Formulierungen der Aufgabenstellung, wobei wir hier eine möglichst allgemeine Form angeben.
[Bearbeiten] Das Problem der optimalen Steuerung
Seien 
,
, 
und 
. Das Problem ist nun:
Minimiere 
unter den Nebenbedingungen:
für ![t \in [a,b]](../../../math/c/9/e/c9ef8c742260828c469822e9c5dbe2c9.png)
Hierbei bezeichnen wir 
als Zustand und 
als Steuerung. Häufig treten zusätzlich noch sogenannte Zustandsbeschränkungen auf, d.h. der Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt ist zusätzlich gewissen Restriktionen unterworfen. Das Ziel ist es nun eine optimale Steuerung u und eine zugehörige Trajektorie x zu finden, die alle geforderten Restriktionen erfüllen.
Von Interesse sind in erster Linie die folgenden Fragestellungen:
- Existieren Lösungen und wie kann man sie berechnen?
- Welche notwendigen Bedingungen gibt es? Hierbei ist vor allem das Maximumprinzip von Pontrjagin von Bedeutung.
- Wann sind die notwendigen Bedingungen sogar hinreichend?
