Maximumprinzip (Mathematik)
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In der Analysis ist ein Maximumprinzip ein Satz über gewisse Klassen partieller Differentialgleichungen, der Funktionswerte der Lösung im Innern gegen die Funktionswerte der Lösung auf dem Rand des betrachteten Gebietes (kurz: Randwerte) abschätzt.
Maximumsprinzip: Nimmt eine harmonische Funktion u im Innern ihres zusammenhängenden Definitionsbereiches G ein Maximum an, so ist u eine Konstante. Daraus ergibt sich unmittelbar, dass eine nicht-konstante harmonische Funktion u mit Definitionsgebiet G ihr Maximum bzw. Minimum auf dem Rand von G annimmt.
Dadurch hat man die folgenden Vorteile:
- Gilt das Maximumprinzip auch für die Differenz zweier Lösungen, so folgt sofort die Eindeutigkeit.
- Man kann gegebenenfalls Lösungen zu stetigen Dirichlet-Randbedingungen durch Lösungen zu differenzierbaren Dirichlet-Randbedingungen approximieren.
- Die Lösung ist stabil gegenüber kleinen Änderungen von Dirichlet-Randbedingungen.
[Bearbeiten] Beispiele
Grundsätzlich gilt das Maximumprinzip:
- für holomorphe Funktionen,
- für harmonische Funktionen bzw. noch allgemeiner für alle Lösungen gleichmäßig elliptischer linearer Differentialoperatoren,
- für gewisse Klassen parabolischer Differentialoperatoren,
- für nicht-lineare elliptische Systeme mit quadratischem Wachstum im Gradienten unter Annahme einer Kleinheitsbedingung.
[Bearbeiten] Literatur
- E. Heinz, Partielle Differentialgleichungen, Vorlesung an der Georg-August-Universität Göttingen 1973.
- D. Gilbarg, N.S. Trundinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Grundlehren der math. Wiss. Bd 224, Springer.
- I.N. Vekua, Verallgemeinerte analytische Funktionen, Akademie Verlag, 1963
- F. Sauvigny, Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik, Springer, 2004-05 (2 Bände)
