Legendre-Transformation

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Abbildung 1: Anschauliche Darstellung der Legendre-Transformation

Die Legendre-Transformation (nach Adrien-Marie Legendre) gehört zu den Berührungstransformationen und dient als wichtiges mathematisches Verfahren zur Variablentransformation.

Ziel der Legendre-Transformation ist die Änderung der Abhängigkeit einer Funktion von einer Variablen $x$ zu einer anderen Variablen $u$ mit

$u=\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Sei die von $x$ abhängige Funktion $f$ also

$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx=udx$ ,

dann soll für die von $u$ abhängige Funktion $g$ gelten:

$dg=\pm x du$ .

Bilden wir zunächst das totale Differential von

$(\pm ux)$ , so erhalten wir

$d(\pm ux)=\pm(xdu+udx)$ .

Der Vergleich mit $d g$ liefert uns

$d(\pm ux)=dg \pm udx = dg \pm df$ .

Daraus schließen wir

$dg=d(\pm f\mp ux)$ , also

$g(u)=\pm(f(x)-ux)$ .

Die Funktion $g (u)$ wird als Legendre-Transformierte von $f$ bezeichnet. Geometrisch lässt sich der Sachverhalt wie in Abbildung 1 veranschaulichen.

[Bearbeiten] Bei Abhängigkeit von mehreren Variablen

Die Änderung der Abhängigkeit einer Funktion $f (x, y)$ von einer unabhängigen Variablen $x$ zu einer anderen $u$ mittels einer partiellen Ableitung von $f$ nach $x$ ist:

$u = \frac{\partial f}{\partial x}$ .

Hierbei stellt $u (x, y)$ geometrisch die Steigung in x-Richtung der Tangentenebene an die Funktion $f (x, y)$ dar. Daher spricht man von Berührungstransformation. Die Funktion $F (u, y)$ wird als Legendre-Transformierte bezeichnet.

Die Legendre-Transformierte lässt sich wie folgt herleiten. Der Wert von $f (x, y)$ kann alternativ als

$f(x,y)=f(x_0,y)+\frac{\partial f} {\partial x} \Delta x,\; \Delta x = x-x_0$

geschrieben werden. Definiert man nun $f(x_0,y) \equiv F(u,y)$ , erhält man für die Legendre-Transformierte

$F(u,y) = f(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x} \Delta x$ .

Meistens wird $x 0 = 0$ gewählt, und somit folgt

$F(u,y) = f(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x} x$ .

Für letztere Definition ist die Legendre-Transformierte der Schnittpunkt des Beitrages in $x$ -Richtung der Tangentenebene an $f (x, y)$ mit der Ebene $x = 0$ . Für Funktionen in der Ebene spricht man vom Achsenabschnitt (siehe auch Geradengleichung).

Praktisch erfolgt also der Austausch der unabhängigen Variablen durch Subtraktion des Produkts aus alter und neuer Variable $u x$ von der Ausgangsfunktion:

F (u, y) = f (x, y) - u x

Dies wird auch bei Betrachtung des totalen Differentials der Legendre-Transformierten deutlich:

$d(f(x,y) - u x) = df(x,y) - x du - u dx = \frac{\partial f} {\partial x} dx + \frac{\partial f} {\partial y} dy - x du - u dx = \frac{\partial f} {\partial y} dy - x du = F(u,y)$ .

[Bearbeiten] Anwendungsgebiete

In der Physik findet die Legendre-Transformation Anwendung vor allem in der (statistischen) Thermodynamik (z. B. Umwandlung der Fundamentalgleichung bzw. beim Übergang zwischen thermodynamischen Potentialen unter verschiedenen Randbedingungen) und beim Übergang von der Lagrangen zur Hamiltonschen Mechanik (Lagrange-Funktion zu Hamilton-Funktion).

Die Legendre-Transformation spielt - wie die Berührungstransformationen insgesamt - des Weiteren eine Rolle in der Mechanik, der Variationsrechnung und in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung.

[Bearbeiten] Beispiele

Durch die Legendre-Transformation der Fundamentalgleichung folgt z. B. die Definition der Enthalpie (Legendre-Transformierte der inneren Energie $u$ , wobei die generalisierten Koordinaten $\mathbf q$ durch die generalisierten Kräfte $\mathbf F$ ersetzt werden)