Kreisteilungskörper

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Kreisteilungskörper sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.

[Bearbeiten] Definition

Es sei $n > 2$ eine natürliche Zahl. Dann ist der $n$ -te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung $\mathbb Q(\mu_n)$ von $\mathbb Q$ , die durch Adjunktion der Menge $μ n$ aller $n$ -ten Einheitswurzeln entsteht.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Ist $ζ n$ eine primitive $n$ -te Einheitswurzel, so ist das Minimalpolynom von $ζ n$ das $n$ -te Kreisteilungspolynom $Φ n$ , deshalb ist

$\mathbb Q(\mu_n)\cong\mathbb Q(\zeta_n)\cong\mathbb Q[T]/(\Phi_n(T)).$

Insbesondere ist der Körpergrad $[\mathbb Q(\mu_n):\mathbb Q]=\varphi(n)$ mit der eulerschen φ-Funktion.

Die Adjunktion der $m$ -ten Einheitswurzeln zu $\mathbb Q(\mu_n)$ ergibt $\mathbb Q(\mu_N)$ mit $N = kgV(m, n).$

Die Erweiterung $\mathbb Q(\mu_n)|\mathbb Q$ ist galoissch. Die Galoisgruppe ist isomorph zu $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times;$ ist $ζ n$ eine primitive $n$ -te Einheitswurzel, so entspricht einem Element $k\in(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ der durch

$\zeta_n\mapsto\zeta_n^k$

definierte Automorphismus von $\mathbb Q(\mu_n).$

Der Ganzheitsring von $\mathbb Q(\mu_n)$ ist $\mathbb Z[\zeta_n]$ mit einer beliebigen primitiven $n$ -ten Einheitswurzel $ζ n .$ Insbesondere ist der Ganzheitsring von $\mathbb Q(\mu_4)=\mathbb Q(\sqrt{-1})$ isomorph zum Ring der ganzen gaußschen Zahlen, der Ganzheitsring von $\mathbb Q(\mu_3)=\mathbb Q(\mu_6)=\mathbb Q(\sqrt{-3})$ ist isomorph zum Ring der Eisenstein-Zahlen.

Eine Primzahl $p\ne2$ ist genau dann verzweigt in $\mathbb Q(\mu_n),$ wenn $p$ ein Teiler von $n$ ist. $p$ ist genau dann voll zerlegt, wenn $p\equiv 1\pmod n$ gilt.

Ist $n=\ell^\nu$ eine Primzahlpotenz und $ζ n$ eine primitive $n$ -te Einheitswurzel, so ist $\ell$ in $\mathbb Q(\mu_n)$ rein verzweigt, und das Primideal über $\ell$ ist ein Hauptideal, das von $1 - ζ n$ erzeugt wird:

$(\ell)=(1-\zeta_n)^{\varphi(n)}.$

[Bearbeiten] Satz von Kronecker-Weber

Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von $\mathbb Q$ entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.

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Kategorien: Zahlentheorie | Algebraische Zahlentheorie