Ganzheitsring
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Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie ist der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers das Analogon des Ringes der ganzen Zahlen im Fall des Körpers der rationalen Zahlen.
[Bearbeiten] Definition
Es sei K ein algebraischer Zahlkörper, d.h. eine endliche Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen. Dann ist der Ganzheitsring 
von K definiert als der ganze Abschluss von 
in K, d.h. die Teilmenge derjenigen 
, die eine Gleichung der Form
mit 
erfüllen. Man beachte, dass der Koeffizient von xn gleich 1 sein muss.
Eine äquivalente Definition lautet: Der Ganzheitsring von K ist die im Sinne der Inklusion maximale Ordnung, die Hauptordnung auf K.
[Bearbeiten] Eigenschaften
- ist ein Dedekindring.
[Bearbeiten] Beispiele
- Ist
, so ist der Ring der Eisenstein-Zahlen
-
mit 
- Eine solche Zahl ist Nullstelle des Polynoms
- X2 − (2u − v)X + (u2 − uv + v2).
- Erfüllt umgekehrt
die Polynomgleichung
- x2 + px + q = 0 mit
- x2 + px + q = 0 mit
- so folgt p = − 2a und q = a2 + 3b2. Man kann zeigen, dass daraus folgt, dass a + b und 2b ganzzahlig sind, also ist
- eine Eisenstein-Zahl.
- Ist
, so ist der Ring der ganzen gaußschen Zahlen ![\mathbb Z[\mathrm i]](../../../math/9/8/c/98c48d82daf4a6005c90888df07977a1.png)
.
- Bezeichnet ζ eine primitive n-te Einheitswurzel, so ist der Ganzheitsring des n-ten Kreisteilungskörpers
gleich ![\mathbb Z[\zeta]](../../../math/7/2/1/72163e404b6b38b9a805305a825f619d.png)
.
