Karatsuba-Algorithmus

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten (Unterschied zur vorletzten Version).

Der Karatsuba-Algorithmus ist ein Algorithmus zur Multiplikation zweier ganzer Zahlen. Mit einer Laufzeitkomplexität von $O(n^{\log_2(3)})\approx O(n^{1,58496})$ ist er deutlich schneller als der naive Algorithmus nach der Schulmethode. Dieser (und auch deren implizite Übertragung auf das Binärsystem in Form der russischen Bauernmultiplikation) besitzt Laufzeitkomplexität $O (n 2)$ . Für hinreichend große Zahlen ist er aber auch langsamer als der Schönhage-Strassen-Algorithmus, dessen Laufzeitkomplexität $O \Big(n \cdot \log(n) \cdot \log\big(\log(n) \big) \Big)$ beträgt und der aus Sicht der Komplexitätstheorie als schnellster bekannter Algorithmus zur Multiplikation ganzer Zahlen gilt. Der Algorithmus von Karatsuba arbeitet nach dem rekursiven Prinzip Teile und herrsche und ist der einfachste und asymptotisch langsamste Spezialfall des Toom-Cook-Algorithmus (siehe unten).

[Bearbeiten] Idee des Algorithmus

Zunächst werden die beiden zu multiplizierenden Zahlen in zwei Teile aufgespaltet. Ausmultiplizieren ergibt dann insgesamt vier Summanden, die durch vier Multiplikationen gebildet werden und anschließend durch Verschiebe- und Additionsoperationen zusammengesetzt werden können. Statt nun vier Multiplikationen durchzuführen, kann mit Hilfe zweier Summanden die Summe der beiden anderen Summanden indirekt berechnet werden, wofür eine Multiplikation genügt. Insgesamt spart man so also eine teure Teil-Multiplikation ein. Führt man dieses Verfahren rekursiv durch, so erhält man eine wesentlich günstigere Laufzeit als nach der naiven Schulmethode.

[Bearbeiten] Der Algorithmus im Detail

Wir gehen von zwei natürlichen Zahlen x und y aus, deren Länge jeweils 2n beträgt. Der Algorithmus kann in einfacher Weise so verallgemeinert werden, dass er auch auf ganzen Zahlen funktioniert, indem Vorzeichen gesondert berücksichtigt werden. Zahlen mit ungerader Länge können als solche mit gerader Länge dargestellt werden, indem eine führende Null vorangestellt wird. Bei Zahlen ungleicher Länge kann die kleinere Zahl ebenfalls durch voranstellen von Nullen auf gleiche Länge aufgefüllt werden. An der Laufzeitabschätzung unten ändert dies nichts. Ebenfalls unerheblich ist das betrachtete Stellenwertsystem. Wir werden in Beispielen mit Dezimalzahlen operieren.

Seien x und y dargestellt durch die Ziffernfolgen

$x = x_{2n-1} \ldots x_0$ und

$y = y_{2n-1} \ldots y_0.$

Der Algorithmus teilt diese Ziffern nun in

$x_h = x_{2n-1} \ldots x_n$ und $x_l = x_{n-1} \ldots x_0$ sowie

$y_h = y_{2n-1} \ldots y_n$ und $y_l = y_{n-1} \ldots y_0$

auf, so dass sich diese auch Darstellen lassen mit

$x = x_h \cdot b^n + x_l$ und

$y = y_h \cdot b^n + y_l$ ,

wobei b die Basis des verwendeten Stellenwertsystems ist.

Im Folgenden werden wir nun versuchen die Multiplikation von x und y in eine andere, schneller berechenbare Form zu bringen. Ausmultiplizieren ergibt zunächst

$x \cdot y = (x_h \cdot b^n + x_l) \cdot (y_h \cdot b^n + y_l) = x_h y_h \cdot b^{2n} + (x_h y_l + x_l y_h) \cdot b^n + x_l y_l.$

Genauso erhält man auch

$x_h y_l + x_l y_h = (x_h + x_l) \cdot (y_h + y_l) - x_h y_h - x_l y_l$ .

In vorangegangene Gleichung eingesetzt ergibt sich nun

$x \cdot y = x_h y_h \cdot b^{2n} + ((x_h + x_l) \cdot (y_h + y_l) - x_h y_h - x_l y_l) \cdot b^n + x_l y_l$ .

Man erkennt, dass im Wesentlichen nur noch die drei Produkte

$P_1 = x_h \cdot y_h$

$P_2 = x_l \cdot y_l$

$P_3 = (x_h + x_l) \cdot (y_h + y_l)$

rekursiv berechnet und - mittels einfachen Verschiebe- und Additionsoperationen - verknüpft werden müssen zu

$x \cdot y = P_1 \cdot b^{2n} + (P_3 - P_1 - P_2) \cdot b^n + P_2$ .

[Bearbeiten] Laufzeitanalyse

Eine Multiplikation zweier $n$ -stelliger Zahlen wird zurückgeführt auf drei Multiplikationen von je zwei $n / 2$ -stelligen Zahlen sowie vier Additionen bzw. Subtraktionen $n$ -stelliger Zahlen. Die für letzteres benötigte Zeit ist $O (n)$ . Damit ergibt sich als Rekursionsgleichung für die Laufzeit $T (n)$ , die zur Multiplikation zweier $n$ -stelligen Zahlen nötig ist,

$T (n) = 3 T (n / 2) + O (n).$

Wir bestimmen das asymptotische Verhalten dieser Funktion mit Hilfe des Master-Theorems. Mit den Bezeichnungen von dort haben wir $a = 3$ und $b = 2$ , also $\log_b a = \log_2 3 \approx 1,585$ . Daher müssen wir $O (n)$ mit $O (n 1,585)$ vergleichen. Wir stellen fest, dass $O (n)$ "echt kleiner" ist (genauer: für jede Funktion $f \in O(n)$ finden wir ein $ε > 0$ , so dass $f\in O(n^{\log_2 3 - \epsilon})$ ). Also befinden wir uns im ersten Fall des Master-Theorems und können schließen, dass

$T(n) \in \Theta(n^{\log_2 3}) \approx \Theta(n^{1.585})$

ist.

[Bearbeiten] Beispiel

Wir betrachten als Beispiel die Zahlen

$x = 84\ 232\ 332\ 233$ und

$y = 1\ 532\ 664\ 392.$

Gemäß obiger Erläuterung stellen wir diesen Zahlen noch ausreichend Nullen voran, das heißt wir setzen

$x = 084\ 232\ 332\ 233$ und

$y = 001\ 532\ 664\ 392.$

Wir haben nun zwei natürliche Zahlen der Länge 12, das heißt es ist $n = 6$ . Diese beiden Zahlen können wir nun zerlegen in

$x_h = 084\ 232$ und $x_l = 332\ 233$ sowie

$y_h = 001\ 532$ und $y_l = 664\ 392.$

Es gilt

$x = x_h \cdot 10^6 + x_l = 084\ 232 \cdot 10^6 + 332\ 233$ und

$y = y_h \cdot 10^6 + y_l = 001\ 532 \cdot 10^6 + 664\ 392.$

Wir bilden nun zunächst die Produkte

$P_1 = x_h y_h = 084\ 232 \cdot 001\ 532 = 000\ 129\ 043\ 424$ und

$P_2 = x_l y_l = 332\ 233 \cdot 664\ 392 = 220\ 732\ 947\ 336.$

Zuletzt bestimmen wir noch

$P_3 = (x_h + x_l) \cdot (y_h + y_l) = (084\ 232 + 332\ 233) \cdot (001\ 532 + 664\ 392) = 416\ 465 \cdot 665\ 924 = 277\ 334\ 038\ 660.$

Der Algorithmus würde die Produkte $P 1, P 2$ und $P 3$ rekursiv bestimmen. Es bleibt das Ergebnis gemäß obiger Formel zusammenzusetzen:

$\begin{matrix} x \cdot y & = & P_1 \cdot 10^{12} + (P_3 - P_1 - P_2) \cdot 10^6 + P_2 \\ & = & 000\ 129\ 043\ 424 \cdot 10^{12} \\ & & + (277\ 334\ 038\ 660 - 000\ 129\ 043\ 424 - 220\ 732\ 947\ 336) \cdot 10^6 \\ & & + 220\ 732\ 947\ 336 \end{matrix}$

[Bearbeiten] Verallgemeinerung

Statt in zwei Teile, können die zu multiplizierenden Zahlen auch in mehr Teile zerlegt werden. Durch geschickte Linearkombination von Teilergebnissen genügen dann bei Zerlegung in d+1 Teile 2d+1 Multiplikationen auf den kleineren Zahlen. Rekursiv angewand führt dieses Verfahren dann zum Toom-Cook-Algorithmus.