Eisensteinreihe

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Eisensteinreihen (nach dem deutschen Mathematiker G. Eisenstein) sind verschiedene Reihen aus der Theorie der Modulformen bzw. automorphen Formen.

Inhaltsverzeichnis

1 Holomorphe Eisensteinreihen

[Bearbeiten] Holomorphe Eisensteinreihen

[Bearbeiten] Eisensteinreihen auf dem Raum der Gitter

Die Eisensteinreihe vom Gewicht $k$ zum Gitter $Ω$ in $\mathbb{C}$ ist die unendliche Reihe der Form

$G_k(\Omega):=\sum_{0\not=\omega\in\Omega} \omega^{-k}$ .

Solche Reihen sind absolut konvergent für $k\ge3$ , für k ungerade ist $G k (Ω) = 0$ .

[Bearbeiten] Eisensteinreihen auf der oberen Halbebene

Bei der Untersuchung der Eisensteinreihen kann man sich auf Gitter der Form $\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\tau$ mit $\tau\in\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Im}z>0\}$ beschränken, da für eine Basis $(ω 1,ω 2)$ von $Ω$ gilt:

$G_k(\Omega)=G_k(\omega_1,\omega_2)=\omega_2^{-k}G_k(\frac{\omega_1}{\omega_2},1)$

und die Basis jedenfalls so gewählt werden kann, dass $\frac{\omega_1}{\omega_2}\in\mathbb{H}$ . Damit hat man

$G_k(\tau):=G_k(\tau,1)=\sum_{(0,0)\not=(m,n)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}} \frac{1}{(m\tau+n)^k}$ .

Die Eisensteinreihe $G k$ ist eine Modulform vom Gewicht $k$ , d.h. für $a,b,c,d\in\mathbb Z$ mit $a d - b c = 1$ gilt

$G_k\!\left(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right)=(c\tau+d)^kG_k(\tau).$

Für $k\ge8$ sind die $G k$ Polynome mit rationalen Koeffizienten in $G 4$ und $G 6$ , d.h. $G_k\in\mathbb{Q}[G_4,G_6]$ , es gilt die Rekursionsformel:

$(n-3)(2n+1)(2n-1)G_{2n}=3\sum_{p=2}^{n-2} (2p-1)(2n-2p-1)G_{2p}G_{2n-2p}$

Speziell für n=4 erhält man hieraus $7G_8=3G_4^2$ und durch einen Koeffizientenvergleich der Fourierentwicklungen (s.u.) die bemerkenswerte zahlentheoretische Identität (Hurwitz-Identität):