Gitter (Mathematik)

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In der Mathematik sind Gitter in gewissem Sinne regelmäßige Mengen. Sie finden u.a. Anwendung in der Gruppentheorie und der Geometrie.

Inhaltsverzeichnis

1 Gitter im euklidischen Raum
2 Gitter in der komplexen Zahlenebene
3 Beispiele
4 Gitterreduktion
5 Siehe auch

[Bearbeiten] Gitter im euklidischen Raum

Es sei $(b_1,\dots,b_m)$ ein linear unabhängiges Tupel von Vektoren im euklidischen Raum $\mathbb{R}^n$ . Dann heißt

$\Gamma = \langle b_1,\dots,b_m \rangle_\mathbb{Z} = \left\{\sum\limits_{i=1}^ma_ib_i | a_i\in\mathbb{Z}\right\}$

ein Gitter mit Basis $(b_1,\dots,b_m)$ vom Rang $m$ . Es heißt $B:=(b_1,\dots,b_m)\in\mathbb{R}^{n\times m}$ eine Basismatrix von $Γ$ und

$\det\Gamma := \sqrt{\left|\det\left(B^tB\right)\right|}$

die Determinante von $Γ$ . Rang und Determinante eines Gitters sind von der Wahl der Basis unabhängig. $Γ$ ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang $m$ .

Die kompakte Menge

$\mathcal{F}_\Gamma := \left\{\sum\limits_{i=1}^ma_ib_i | 0\leq a_i\leq 1\right\}$

heißt die Grundmasche von $Γ$ .

Man kann auf $\mathbb{R}^n$ mittels eines Gitters $Γ$ eine Äquivalenzrelation wie folgt definieren:

$x\equiv_\Gamma y \,:\Leftrightarrow\, y-x\in\Gamma$

Demnach sind zwei Punkte äquivalent modulo $Γ$ , wenn sie relativ zum Ursprung ihrer Masche die gleiche Position einnehmen.

Ein Gitter $Γ$ heißt ganz, falls für alle $x, y \in \Gamma$ gilt: $x \cdot y \in \mathbb{Z}$ , gilt zudem noch: $x \cdot x \in 2\mathbb{Z}$ spricht man von einem geradem Gitter.

[Bearbeiten] Gitter in der komplexen Zahlenebene

Indem man die komplexe Zahlenebene $\mathbb C$ als reellen Vektorraum auffasst, kann man von Gittern in $\mathbb C$ sprechen; sie sind freie abelsche Gruppen vom Rang 2. Sie spielen eine zentrale Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und elliptischen Kurven.

Ist allgemeiner $g$ eine natürliche Zahl, so stehen Gitter im reell $2 g$ -dimensionalen Raum $\mathbb C^g$ in Beziehung zu komplexen Tori und abelschen Varietäten.

[Bearbeiten] Beispiele

Sei $Γ$ das zur Basismatrix $\begin{pmatrix}1 & 0,5 \\ 0 & \sqrt{2}\end{pmatrix}$ gehörige Gitter vom Rang 2. Dann ist $\det\Gamma = \sqrt{2}$ .
Sei $\Gamma:=\mathbb{Z}^n\subseteq\mathbb{R}^n$ . Dann ist die Grundmasche von $Γ$ der $n$ -dimensionale Hyperwürfel $\mathcal{F}_\Gamma=[0,1]^n$ , und es gilt z.B. $(1.5, 0, \dots, 0)\equiv_\Gamma (-3.5, 1, \dots, 1)$ .
Der Ring der gaußschen Zahlen $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ ist ein Gitter in $\mathbb{C}$ .

[Bearbeiten] Gitterreduktion

Die Gitterreduktion ist das Problem, aus einer gegebenen Gitterbasis eine Basis mit gewissen Eigenschaften zu berechnen, wie zum Beispiel eine Basis mit kurzen, nahezu orthogonalen Vektoren. Der LLL-Algorithmus (nach Lenstra, Lenstra und Lovász) berechnet in polynomieller Zeit eine sogenannte LLL-reduzierte Basis, mit deren Hilfe man sehr kurze Gittervektoren erhält. In der Tat liegt die Länge des ersten Vektors einer LLL-reduzierten Basis sehr nah an der Länge des kürzesten nichttrivialen Gittervektors.

Der LLL-Algorithmus hat zahlreiche Anwendungen in der Kryptanalyse von asymmetrische Verschlüsselungsverfahren, wie dem RSA-Kryptosystem und dem Merkle-Hellman-Kryptosystem, gefunden.

[Bearbeiten] Siehe auch

Raumgruppe
Bravais-Gitter
Spezielle Gitter werden nach Dedekind bei der Untersuchung algebraisch ganzer Zahlen verwendet. Siehe dazu Ordnung (algebraische Zahlentheorie)

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Kategorie: Gruppentheorie