Dirac-Matrizen

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Die Dirac-Matrizen sind ein Satz von vier Matrizen, die in der Dirac-Gleichung als Koeffizienten auftreten.

Inhaltsverzeichnis

1 "Herleitung" und Definition
2 Eigenschaften
3 Andere Darstellungen
4 Bücher

[Bearbeiten] "Herleitung" und Definition

Bei der ursprünglichen Herleitung der Dirac-Gleichung treten vier Koeffizienten $α i$ , i=1..3 und $β$ auf:

$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{\hbar}{i} c \sum_{k=1}^3\alpha_k \frac{\partial}{\partial x ^k} \psi + \beta m c^2 \psi$

Aufgrund der Tatsache, dass das "Quadrat" dieser Gleichung die Klein-Gordon-Gleichung reproduzieren soll, ergeben sich bestimmte Bedingungen an diese Koeffizienten:

$\alpha_i ^2 = \beta ^2 = 1$

$\left\{ \alpha_i, \beta \right\} = \left\{ \alpha_i, \alpha_j \right\} = 0$ mit $i \neq j$

Hierbei tritt der Antikommutator $\left\{ A, B \right\} = AB + BA$ auf. Aus der zweiten Bedingung folgt, dass die Koeffizienten keine Zahlen sein können. Damit müssen diese Koeffizienten quadratische Matrizen sein. Einen weiteren Hinweis liefert die Spur; es kann gezeigt werden, dass alle vier Matrizen spurfrei sein müssen. In Verbindung mit der ersten der obigen Bedingungen bedeutet dies, dass Zahl der Zeilen und Spalten gerade sein muss.

Der erste Kandidat wären demnach $2 \times 2$ -Matrizen, aber davon gibt es nur drei unabhängige antikommutierende, nämlich die Pauli-Matrizen $σ i$ . Demnach schreiben wir die Koeffizienten als $4 \times 4$ -Matrizen. Eine mögliche Darstellung lautet:

$\beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \alpha_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\alpha_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i& 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \alpha_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreiben (jeder Eintrag steht hier für eine $2 \times 2$ -Matrix):

$\alpha _n = \begin{pmatrix} 0 & \sigma _n \\ \sigma _n & 0 \end{pmatrix} ;\; \beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Um die Dirac-Gleichung kompakter schreiben zu können, definieren wir nun die Diracschen Gamma-Matrizen:

$\gamma _0 = \beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} ;\; \gamma _k = \beta \alpha _k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma _k \\ -\sigma _k & 0 \end{pmatrix}$

Damit schreibt sich die Dirac-Gleichung:

$\left( i \gamma ^\mu \partial _\mu - \frac{mc}{\hbar}\right) \psi = \left( i \partial\!\!\!/ - \frac{mc}{\hbar} \right) \psi = 0$

Nach dem ersten Gleichheitszeichen wurde hierbei die Feynmansche Slash-Schreibweise $a\!\!\!/ = \gamma ^\mu a _\mu$ verwendet (genannt "Feynman-Dolch", oder "Feyman-Dagger"), wobei über die $μ$ von 0 bis 3 zu summieren ist.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Für alle Dirac-Matrizen gilt: $\left( \gamma ^\mu \right) ^\dagger = \gamma _\mu = g _{\mu\nu} \gamma ^\nu$

Die Gamma-Matrizen erfüllen folgende Antikommutator-Relation:

$\left\{ \gamma ^\mu, \gamma ^\nu \right\} = 2g ^{\mu\nu}1_{4 \times 4}$

Hierbei kommt die Minkowski-Metrik $g μν$ zum Einsatz. Es gilt:

$g ^{\mu\nu}= \begin{cases} 1, & \mu = \nu = 0 \\ - \delta _{\mu\nu}, & \mu, \nu = 1..3 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}$

Diese Antikommutator-Relation bedeutet, dass die Dirac-Matrizen eine Clifford-Algebra bilden. Die zu Grunde liegende Gruppe ist die Lorentz-Gruppe. Das bedeutet, dass die sechs Kommutatoren der Gamma-Matrizen

σ μν = [γ μ,γ ν] = γ μ γ ν - γ ν γ μ

Generatoren der Lorentz-Gruppe sind.

Ferner ist der Index $μ$ an den Gamma-Matrizen ein echter Lorentz-Index. Das bedeutet, dass sich für zwei Dirac-Spinoren $ψ$ und $χ$ der Vektor mit den Einträgen $\overline{\psi}\gamma ^\mu \chi$ wie ein normaler 4-Vektor unter Lorentz-Transformationen verhält.

Zweckmäßigerweise wird meist noch eine weitere Gamma-Matrix definiert:

γ 5 = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3

In der hier verwendeten Darstellung lautet sie:

$\gamma _5 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}$

Sie hat folgende Eigenschaften:

$\left( \gamma _5 \right) ^\dagger = \gamma _5$

$\left( \gamma _5 \right) ^2 = 1$

$\left\{ \gamma _5, \gamma ^\nu \right\} = 0$

[Bearbeiten] Andere Darstellungen

Die obige Wahl für die Koeffizienten-Matrizen und damit für die Gamma-Matrizen ist nicht eindeutig. In der Tat sind alle Matrizen, die über Ähnlichkeitstransformationen aus den obigen Matrizen hervorgehen, Darstellungen der Clifford-Algebra. Die oben gewählte Darstellung wird Standarddarstellung genannt.

Eine andere, häufig benutzte Darstellung ist die chirale oder Weyl-Darstellung:

$\gamma _0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ;\; \gamma _k = \begin{pmatrix} 0 & -\sigma _k \\ \sigma _k & 0 \end{pmatrix} ;\; \gamma _5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

In dieser Darstellung ist $γ 5$ Teil der Projektoren auf die beiden Spinoren, die als Lösung der Weyl-Gleichung auftreten. Im massiven Fall werden diese beiden zweikomponentigen Projektionen gewöhnlich mit der rechts- und linkshändigen Komponente des Teilchens identifiziert, daher der Name "chiral".

Eine reelle Darstellung der Dirac-Matrizen ist die Majorana-Darstellung.

[Bearbeiten] Bücher

Bjorken, J. D. & Drell, S., Relativistische Quantenmechanik, ISBN 3-411-00098-8
Michael E. Peskin & Daniel V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, ISBN 0-201-50397-2

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Kategorie: Quantenphysik