Basistransformation

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Eine Basistransformation ist eine Operation in der Linaren Algebra, um die Koordinatendarstellung eines Vektors bezüglich einer gegebenen Basis in die Koordinatendarstellung bezüglich einer zweiten Basis umzuwandeln.

[Bearbeiten] Motivation

Aus der Linaren Algebra ist bekannt, dass jeder Vektorraum immer eine Basis besitzt. Insbesondere endlichdimensionale Vektorräume haben immer eine Basis. Haben wir einen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ und eine Basis

$\mathcal{B} = \{v_1, \ldots, v_n \}$

gegeben, so können wir einen beliebigen Vektor $v \in V$ auf eindeutige Weise durch eine Linearkombination der Basisvektoren ausdrücken:

$v = \alpha_1 v_1 + \ldots \alpha_n v_n$ .

Wir können also $v$ ebenfalls als Koordinatenvektor bezüglich der Basis $\mathcal{B}$ schreiben, also

$v = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ .

Bezüglich der gegebenen Basis $\mathcal{B}$ ist diese Darstellung eindeutig.

Allerdings hat $V$ sicher noch andere Basen. Ist

$\mathcal{C} = \{w_1, \ldots, w_n \}$

eine zweite Basis, so können wir unseren Vektor $v$ ebenfalls als Linearkombination der Basisvektoren von $\mathcal{C}$ schreiben, und erhalten eine wiederum eindeutige Darstellung von $v$ als Linearkombinaton und als Koordinatenvektor.

$v = \beta_1 w_1 + \ldots \beta_n w_n = (\beta_1, \ldots, \beta_n)$ .

[Bearbeiten] Vorgehen

Wir können jeden Vektor bezüglich der beiden Basen darstellen, das gilt natürlich für die Basisvektoren auch.

$\begin{matrix} v_1 & = & \beta_{11} w_1 + \ldots + \beta_{n1} w_n \\ & \vdots & \\ v_n & = & \beta_{1n} w_1 + \ldots + \beta_{nn} w_n \end{matrix}$

Ist $v = \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_n v_n$ ein beliebiger Vektor, dann ist

$\begin{matrix} v & = & \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_n v_n \\ & = & \alpha_1 \left( \sum_{i=1}^{n} \beta_{i1} w_i \right) + \ldots + \alpha_n \left( \sum_{i=1}^{n} \beta_{in} w_i \right) \\ & = & \left( \sum_{j=1}^n \alpha_j \beta_{1j} \right) w_1 + \ldots + \left( \sum_{j=1}^n \alpha_j \beta_{nj} \right) w_n \end{matrix}$

Damit haben wir zwei Darstellungen von $v$ bezüglich der Basis $\mathcal{C}$ :

$\begin{matrix} v & = & \left( \sum_{j=1}^n \alpha_j \beta_{1j} \right) w_1 + \ldots + \left( \sum_{j=1}^n \alpha_j \beta_{nj} \right) w_n \\ & = & \beta_1 w_1 + \ldots + \beta_n w_n \end{matrix}$ .

Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung bezüglich $\mathcal{C}$ gilt also

$\begin{matrix} \beta_1 & = & \alpha_1 \beta_{11} + \ldots + \alpha_n \beta_{1n} \\ & \vdots & \\ \beta_n & = & \alpha_1 \beta_{n1} + \ldots + \alpha_n \beta_{nn} \end{matrix}$

[Bearbeiten] Matrix des Basiswechsels

Jede lineare Abbildung lässt sich, bezüglich einer gegebenen Basis, als Matrix darstellen. Auch eine Basistransformation kann man als Matrix darstellen, allerdings muss man beachten, dass man es nun mit zwei verschiedenen Basen zu tun hat. Die Matrix der Basistransformation ist im Grunde nichts anderes als die darstellende Matrix der Identitätsabbildung von $V$ in sich selbst bezüglich der beiden Basen $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$ .

Betrachten wir das letzte Gleichungssystem nochmal, so können wir das Ganze auch in Matrixschreibweise ausdrücken:

$\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \beta_{11} & \cdots & \beta_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \beta_{n1} & \cdots & \beta_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix}$ .

Man beachte, dass der erste Zeilenvektor die Koordinatendarstellung von $v$ bezüglich $\mathcal{C}$ ist, der letzte Zeilenvektor die Koordinatendarstellung bezüglich $\mathcal{B}$ ist, und in den Spalten der Matrix jeweils die Koordinatendarstellungen der Basisvektoren $v_i \in \mathcal{B}$ bezüglich der Basis $\mathcal{C}$ stehen.

[Bearbeiten] Beispiel

Seien

$\mathcal{B} = \left\{ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$ und $\mathcal{C} = \left\{ w_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , w_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , w_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$

Basen von $\mathbb{R}^3$ , wobei die Koordinatendarstellung der Vektoren die Vektoren bezüglich der Standardbasis beschreibt. Um die Matrix der Basistransformation zu berechnen, müssen wir die drei linearen Gleichungssysteme

v i = β 1 i w 1 + β 2 i w 2 + β 3 i w 3

nach den 9 Unbekannten $β j i$ auflösen und erhalten die Matrix

$\begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

Wir betrachten einen Vektor $v$ , der bezüglich der Standardbasis die Koordinatendarstellung $(5,2,7)$ besitzt. Bezüglich $\mathcal{B}$ ist

$v = 2v_1 - v_2 + 3v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}_\mathcal{B}$ .

Das Subskript bezeichne die zur Koordinatendarstellung gehörige Basis. Um nun die Koordinatendarstellung bezüglich $\mathcal{C}$ zu berechnen, müssen wir die Transformationsmatrix auf diesen Spaltenvektor anwenden:

$\begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}_\mathcal{B} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}_\mathcal{C}$ .