257-Eck

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257-Eck oder Kreis?

Das 257-Eck ist eine geometrische Figur aus der Gruppe der Vielecke (Polygone). Es ist definiert durch 257 Punkte, die durch ebensoviele Kanten zu einer geschlossenen Figur verbunden sind.

Dieser Artikel befasst sich ausschließlich mit dem regelmäßigen 257-Eck, bei dem alle Seiten gleich lang sind, und dessen Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen. Es ist in der grafischen Darstellung von einem Kreis praktisch nicht zu unterscheiden (siehe Abbildung rechts).

[Bearbeiten] Konstruktion

Das Besondere am 257-Eck ist die Tatsache, dass es unter Beschränkung auf die Hilfsmittel Zirkel und Lineal (die Euklidischen Werkzeuge) konstruiert werden kann. Die Zahl 257 ist eine der fünf bekannten Fermat'schen Primzahlen:

$257 = 2^{2^3}+1$ .

Carl Friedrich Gauß hat 1836 bewiesen, dass ein Vieleck mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, wenn die Zahl seiner Ecken eine Fermat'sche Primzahl ist.

Eine Konstruktionsanleitung für das regelmäßige 257-Eck wurde erstmalig präsentiert im Jahre 1832 durch Friedrich Julius Richelot. Duane W. DeTemple veröffentlichte 1991 ein Konstruktionsverfahren unter Verwendung von 150 Hilfskreisen, 1999 publizierte Christian Gottlieb eine weitere Konstruktionsvorschrift (s. Literatur).

[Bearbeiten] Eigenschaften

Der Zentriwinkel hat den Wert $\frac{360^\circ}{257} \approx 1,4^\circ$ .

Der Innenwinkel hat den Wert $\frac{(257 - 2)}{257} \cdot 180^\circ \approx 178,6^\circ$ .

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Literatur

Friedrich Julius Richelot: De resolutione algebraica aequationis x²⁵⁷ = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Nr. 9, 1832, S. 1–26, 146–161, 209–230, und 337–358. (Faksimile dieses Artikels siehe Weblinks.)

Duane W. DeTemple: Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygonal Constructions. In: The American Mathematical Monthly. No. 98, 1991, S. 97–108.

Christian Gottlieb: The Simple and Straightforward Construction of the Regular 257-gon. In: Mathematical Intelligencer. Vol. 21, No. 1, 1999, S. 31–37.