Euklidische Werkzeuge
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Als Euklidische Werkzeuge werden der Zirkel und das (unmarkierte) Lineal bezeichnet. Die Euklidischen Werkzeuge, die nach dem griechischen Mathematiker Euklid benannt sind, waren die einzigen erlaubten Hilfsmittel bei der Suche nach Lösungen für die drei klassischen mathematischen Probleme der Antike:
- die Verdoppelung des Würfels und
Die einzigen drei zugelassenen Anwendungen dieser Werkzeuge waren:
- das Ziehen einer Geraden mit unbeschränkter Länge durch zwei beliebig gegebene, voneinander verschiedene Punkte.
- das Ziehen eines Kreises, der einen beliebig gegebenen Punkt als Mittelpunkt hat und durch einen beliebig gegebenen anderen Punkt verläuft und
- das Übertragen bzw. Abschlagen einer Strecke auf einer Geraden oder einer Kreislinie.
Mit diesen Anwendungen sind folgende algebraische Operationen (also die Konstruktion des Ergebnisses auf dem Zahlenstrahl) möglich:
- die Addition (und Subtraktion) zweier reeller Zahlen;
- die Multiplikation (und Division) zweier reeller Zahlen;
- das Inverse einer reellen Zahl (ungleich Null);
- die Ziehen einer Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl.
Die Beschränkung auf die Euklidischen Werkzeuge leitete sich aus den Postulaten ab, die Euklid am Anfang seines Lehrbuches »Die Elemente« zusammengestellt hatte. Keine Lösung, die man unter Verwendung anderer Hilfsmittel erreichen konnte, wurde von den Griechen der klassischen Periode als zufriedenstellend betrachtet.
Die drei klassischen Probleme sind jedoch mit den Euklidischen Werkzeugen allein nicht bewältigbar. Die diesbezüglichen Beweise gelangen jedoch erst im 19. Jahrhundert. Dennoch bewirkten die Versuche, das Unmögliche zu vollbringen, eine ganze Reihe von hervorragenden Leistungen. Die Griechen fanden eine Reihe von brillanten Lösungen der »klassischen« Probleme mit anderen Hilfsmitteln, wobei sie viele bemerkenswerte Resultate der höheren Geometrie entdeckten.
