Constante de Apéry

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En matemáticas, La constante de Apery es un número curioso que aparece en diversas situaciones. Se define como el número ζ(3),

$\zeta(3)=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \ldots$

donde ζ es la función de Riemann. Y tiene un valor de

$\zeta(3)=1.20205\; 69031\; 59594\; 28539\; 97381\; 61511\; 44999\; 07649\; 86292\,\ldots$

[editar] Teorema de Apery

Este valor debe su nombre a Roger Apéry (1916 - 1994), quien en 1977 probó que era irracional. Este resultado es conocido como "Teorema de Apéry". La prueba original es compleja y pruebas más cortas han sido halladas usando los Polinomios de Legendre.

El resultado ha permanecido bastante aislado: poco se sabe sobre ζ(n) para otros números imparesn.

[editar] Representación por series

En 1772, Leonhard Euler dio la representación de la serie

$\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7} \left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right]$

la cuál fue posteriormente redescubierta varias veces, incluyendo Ramaswami en 1934.

Simon Plouffe dio numerosas series, que son notables en cuanto a que pueden dar varios dígitos por repetición. Estas incluyen:

$\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}$

$\zeta(3)= 14 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sinh(\pi n)} -\frac{11}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)} -\frac{7}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} +1)}$

Relaciones similares para valores de $ζ(2 n + 1)$ son dadas en el artículo zeta constants.

Muchas series sumatorias han sido encontradas, incluyendo:

$\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3}$

$\zeta(3) = \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3}$

$\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(n!)^2}{n^3 (2n)!}$

$\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{56n^2-32n+5}{(2n-1)^2} \frac{((n-1)!)^3}{(3n)!}$

$\zeta(3)=\frac{8}{7}-\frac{8}{7}\sum_{t=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^t\,2^{-5 + 12\,t}\,t\, \left( -3 + 9\,t + 148\,t^2 - 432\,t^3 - 2688\,t^4 + 7168\,t^5 \right) \, {t!}^3\,{\left( -1 + 2\,t \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,t \right) }^3\, \left( 3\,t \right) !\,{\left( 1 + 4\,t \right) !}^3}$

$\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{205n^2 + 250n + 77}{64} \frac{(n!)^{10}}{((2n+1)!)^5}$

$\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{P(n)}{24} \frac{((2n+1)!(2n)!n!)^3}{(3n+2)!((4n+3)!)^3}$

donde

$P(n) = 126392n^5 + 412708n^4 + 531578n^3 + 336367n^2 + 104000n + 12463.\,$

Algunas de estas han sido utilizadas para calcular varios millones de dígitos de la constante de Apéry.

[editar] Otras fórmulas

La constante de Apéry puede expresarse mediante una función polygamma function the segundo orden, como

$\zeta(3) = -\frac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1).$

[editar] Referencias

V. Ramaswami, Notes on Riemann's ζ-function, (1934) J. London Math. Soc. 9 pp. 165-169.
Roger Apéry, Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), (1979) Astérisque, 61:11-13.
Alfred van der Poorten, A proof that Euler missed. Apéry's proof of the irrationality of ζ(3). An informal report.,(1979) Math. Intell., 1:195-203.
Simon Plouffe, Identities inspired from Ramanujan Notebooks II, (1998)
Simon Plouffe, Zeta(3) or Apery constant to 2000 places, (undated).
Xavier Gourdon & Pascal Sebah, The Apéry's constant: z(3)