Catenaria

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Para el sistema de electrificación de alta potencia de los ferrocarriles, véase Catenaria (ferrocarril).

Catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos y que se encuentra sometida a un campo gravitatorio uniforme. La palabra deriva del latín catenarĭus, propio de la cadena.

Por extensión, en matemáticas se denomina catenaria a la curva que adopta una cadena ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme. La involuta de la catenaria es la tractriz.

Los primeros matemáticos que abordaron el problema supusieron que la curva era una parábola. Huygens, a los 17 años, demostró que no lo era, pero no encontró la ecuación de la catenaria. En la siguiente imagen se puede apreciar la diferencia entre las dos curvas, que están desplazadas al origen de coordenadas.

La ecuación fue obtenida por Leibniz, Huygens y Johann Bernoulli en 1691, en respuesta al desafío planteado por Jakob Bernoulli. Huygens fue el primero en utilizar el término catenaria en una carta dirigida a Leibniz en 1690, y David Gregory escribió, ese mismo año, un tratado sobre la curva.

La ecuación de la catenaria, tomando su mínimo en el punto (0,a) es:

$y = a \cdot \cosh\left(\frac{x}{a}\right).$

En la cual:

$a =\left(\frac{T_o}{P}\right).$

Donde $T o$ es la componente horizontal de la tensión, que es constante, y P es el peso por unidad de longitud del hilo.

Si se desarrolla en series de Taylor la función $c o s h (x)$

se obtiene

$cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + O^4(x)$

que corresponde a la ecuación de una parábola más un término de 4º orden. Es por este motivo que las gráficas son tan parecidas en el entorno de cero.

[editar] Otras relaciones importantes

Longitud del arco:

Con el origen de arcos en el mínimo resulta que:

$l = a \cdot \sinh\left(\frac{x}{a}\right).$

Tensión del hilo:

La tensión total es $T =\sqrt{T_o^2 + T_y^2}$

$T = P \cdot y.$

[editar] Aplicaciones

Una curva catenaria invertida es el trazado perfecto para un arco en la arquitectura, forma que fue aplicada, entre otros y fundamentalmente, por Gaudí. La forma que toma un cable que esta tendido de dos postes a la misma altura, es la de una catenaria. Asímismo, la curva catenaria es la que describe una cuerda, cable o hilo, de longitud finita y densidad constante sostenido por dos puntos; por ejemplo, es la curva que describe un cable eléctrico entre dos apoyos o postes.