De Boor算法

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数学的子领域数值分析中，De Boor算法是快速而且数值上稳定的算法，用于计算B样条形式的样条曲线。这是用于Bézier曲线的de Casteljau算法的一个推广。

[编辑] 概述

一般的情况如下。我们要构造一个穿过一系列p个点 $\vec{d}_0, \vec{d}_1, \dots, \vec{d}_{p-1}$ 的曲线。曲线可以描述为一个参数x的函数。要穿过点的序列，曲线必须满足 $\vec{s}(u_0)=\vec{d}_0, \dots, \vec{s}(u_{p-1})=\vec{d}_{p-1}$ 。我们假设u₀, ..., u_p-1和 $\vec{d}_0, \vec{d}_1, \dots, \vec{d}_{p-1}$ 一起给定。这个问题称为插值。

解决这个问题的一个方法是用样条。样条是一个分段n^th阶多项式的曲线。这表示在任意区间[u_i, u_i+1)上,曲线必须等于次数最多n的多项式。它在不同的区间上可以是不同的多项式。多项式必须同步:当区间[u_i-1, u_i)和[u_i, u_i+1)上的多项式在点u_i上相遇,它们必须有同样的值，而且他们的导数必须相等(以保证曲线是光滑的)。

De Boor算法是一个算法，当给定u₀, ..., u_p-1和 $\vec{d}_0, \vec{d}_1, \dots, \vec{d}_{p-1}$ 时,它能找到样条曲线 $\vec{s}(x)$ 在点x的值。它采用O(n²)次操作。注意算法的运行时间依赖于多项式的次数n,而不是点的个数p。

[编辑] 算法概要

假设我们要计算参数值为 $x \in [u_{\ell},u_{\ell+1})$ 的样条曲线的值。我们可以将曲线表示为

$\vec{s}(x) = \sum_{i=0}^{p-1} \vec{d}_i N_i^n(x),$ 而 $N_i^0(x)=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }x \in [u_{\ell},u_{\ell+1}) \\ 0, & \mbox{... } \end{matrix}\right.$

其中N_iⁿ(x)是x的多项式其参数依赖于u₀, ..., u_p但和 $\vec{d}_i$ 无关。

因为样条的局域性，

$\vec{s}(x) = \sum_{i=\ell-n}^{\ell} \vec{d}_i N_i^n(x)$

所以值 $\vec{s}(x)$ 由控制点 $\vec{d}_{\ell-n},\vec{d}_{\ell-n+1},\dots,\vec{d}_{\ell}$ 决定;其他控制点 $\vec{d}_i$ 没有影响。下一节所述的De Boor算法是一个有效计算 $\vec{s}(x)$ 表达式的程序。