頂點代數

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頂點代數,又稱^[1]頂點算子代數(en:Vertex Operator Algebra, VOA) 是共形場論(保角場論) 之代數結構。其應用包括魔群月光猜想(en:Monstrous moonshine)與幾何化朗蘭兹綱領。

1986 年，Richard Borcherds 受二維共形場論中用以插入場之頂點算子啓發，提出頂點算子代數結構。重要例子有：

晶格頂點算子代數（用以研究晶格共形場論），
來自仿射Kac-Moody 代數之表示之頂點算子代數（用以研究 Wess-Zumino-Witten 模型），
來自仿射 Virasoro 代數之表示之Virasoro 頂點算子代數（可用以研究極小模型），
I. Frenkel-J.Lepowsky-A.Meurman（於1988年)構造之月光模(en:Moonshine module)V^♮。

定義頂點算子代數之各公理抽象自物理學人所謂之手徵代數(en:Chiral algebra)，其嚴格數學定義^[2]由 Beilinson 與 Drinfeld 提出。

[编辑] 定義

一頂點代數由以下資料組成：

向量空間V,
「單位元」1 $\in$ V ,
自態射 T,
乘法性映射: $Y:V\otimes V\to V((z))$ 或書作 $(a,b)\mapsto Y(a,z)b = \sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n b z^{-n-1}$ ；

並滿足以下條件：:

(單位)V中每一元 a,均符合

$Y (1, z) a = a = a z 0$ and $Y(a,z)1 \in a + zV[[z]]$
(位移) T(1) = 0, 且V中每元a, b, 均符合

$Y(a,z)Tb - TY(a,z)b = \frac{d}{dz}Y(a,z)b$
(四頂點函數)V中每元a, b, c , 均符合

$X(a,b,c;z,w) \in V[[z,w]][z^{-1}, w^{-1}, (z-w)^{-1}]$

其中 Y(a,z)Y(b,w)c, Y(b,w)Y(a,z)c, 與 Y(Y(a,z-w)b,w)c 分别為 X(a,b,c;z,w) 在V((z))((w)) , V((w))((z)), 與 V((w))((z-w))中之級數展開式.

此乘法映射常被寫作「狀態——場對應」(en:state-field correspondence)：

$Y: V \to (End V)[[z^{\pm 1}]]$ ,

給V中每一向量配上一支以算子為值之形式分佈(en:formal distribution)，稱作「頂點算子」；其物理意義為在原點插入一算子。T則是無窮小位移之一生成元。「四頂點函數」公理統一了（誤差不過奇異值之）結合律與交換律。位移公理涵蘊 Ta = a_-21, 故Y 的值決定了T 的值。

[编辑] 分階頂點代數

一Z₊-分階頂點代數為

一頂點代數V:
V的分階:
- $V = \bigoplus_{n=0}^\infty V_n\,$

使每a ∈ V_k 與 b ∈ V_m, 符合a_n b ∈ V_k+m-n-1.

設有一Z₊-分階頂點代數. 其一 Virasoro 元為 V中₂ 一元 ω , 使頂點算子

$Y(\omega, z) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \omega_{(n)} {z^{-n-1}} = \sum_{n\in\mathbb{Z}} L_n z^{-n-2}$

符合以下條件: V_n 中每一元 a符合:

$L 0 a = n a$
$Y(L_{-1} a, z) = \frac{d}{dz} Y(a, z) = [Y(a,z),T]$
$[L_m, L_n]a = (m - n)L_{m + n}a + \delta_{m + n, 0} \frac{m^3-m}{12}ca$

其中 c 為一常值，稱「中心荷」(en:central charge)，或「V之秩」(en:rank)。此亦使V成為 Virasoro 代數的一表示。

[编辑] 參攷

Richard Borcherds, 《Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster》, Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 83 (1986) 3068-3071
Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman, 《Vertex operator algebras and the Monster》. Pure and Applied Mathematics, 134. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. liv+508 pp. ISBN 0-12-267065-5
Edward Frenkel, David Ben-Zvi, 《Vertex algebras and Algebraic Curves》. Mathematical Surveys and Monographs, 88. American Mathematical Society, 2001. xii+348 pp. ISBN 0-8218-2894-0
Huang Yi Zhi,《Two-Dimensional Conformal Geometry and Vertex Operator Algebras》(Progress in Mathematics) ISBN 0817638296
Victor Kac, 《Vertex Algebras for Beginners》, University Lecture Series, 10., 亞美利根數學會, 1996. ISBN 0-8218-0643-2