Wess-Zumino-Witten 模型

维基百科，自由的百科全书

理論物理與數學中， Wess-Zumino-Witten (WZW) 模型, 又稱Wess-Zumino-Novikov-Witten model, 乃一簡單之共型場論，其解可以用仿射李代數表達。其名來自 Julius Wess、Bruno Zumino、Sergei P. Novikov 與 Edward Witten.

[编辑] 作用

設G為緊緻單連通李羣，設g為其李代數。設γ為黎曼球面 $S 2$ （複平面之一點緊緻化）上一G-值場

Wess-Zumino-Witten 模型是γ所定義之非線性 sigma 模型，其作用為

$S_k(\gamma)= - \, \frac {k}{8\pi} \int_{S^2} d^2x\, \mathcal{K} (\gamma^{-1} \partial^\mu \gamma \, , \, \gamma^{-1} \partial_\mu \gamma) + 2\pi k\, S^{\mathrm WZ}(\gamma)$ ；

其中首項為量子場論中常見之動量項，重覆指標相加，度量為歐幾里得度量， $\mathcal{K}$ 為g上之Killing 二次式，而 $\partial_\mu = \partial / \partial x^\mu$ 為偏導數。

S^WZ 項人稱 Wess-Zumino 項，其定義為

$S^{\mathrm WZ}(\gamma) = - \, \frac{1}{48\pi^2} \int_{B^3} d^3y\, \epsilon^{ijk} \mathcal{K} \left( \gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^i} \, , \, \left[ \gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^j} \, , \, \gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^k} \right] \right)$

其中 [,] 為交換子， $ε i j k$ 為完全反對稱張量，i=1,2,3， $y i$ 為積分座標，取值於單位球 $B 3$ 。在此積分中，場γ 被延拓至單位球之內部－－此所以可能，是由於任何緊緻單連通李羣之第二同倫羣 $π 2 (G)$ 俱為零（ γ已於球面上定義）。

[编辑] 拉回

注意：若 $e a$ 為李代數g之基向量，則 $\mathcal{K} (e_a, [e_b, e_c])$ 為g 之結構常數。結構常數是反對稱的，因而定義了一G 上之三次微分式。故上述積分實為球 $B 3$ 上之三次調和式之拉回。記此三次式為 c、其拉回為 $γ *$ , 則吾人有

$S^{\mathrm WZ}(\gamma) = \int_{B^3} \gamma^{*} c$

自此吾人可用拓撲方法分析 WZ-項。

[编辑] 拓撲障礙

γ 有多種延拓至球 $B 3 K$ 之內部；若要求物理現象不依賴於特定之延拓，則常數k需符合以下「量子條件」：

取γ 到球內部之任何兩種延拓。是為平三維區域至李羣G之兩支影射。在其邊界 $S 2$ 黏起此兩個三維球，則成一三維球面 $S 3$ ；其中每一三維半球面來自一 $B 3$ 。 γ 之兩種延拓則成為一影射： $S^3\rightarrow G$ 。然而，任何緊緻單連通李羣G之同倫羣

$\pi_3(G)=\mathbb{Z}$ 。故

S W Z (γ) = S W Z (γ') + n

其中 γ 與 γ' 表示兩種延拓， n為一整數－－黏合後之影射之纏繞數^[1] 。兩種延拓會帶來相同的物理系統，若

$\exp \left(i2\pi k S^{\mathrm WZ}(\gamma) \right)= \exp \left( i2\pi k S^{\mathrm WZ}(\gamma')\right)$

是故，耦合常數k必須為整數。當G是半單李羣，或不連通緊緻羣，則由每一連通部所給之一整數構成此階(level)。

此拓撲障礙亦可以相應之仿射李代數之表示論體現。當每一階為一整數，則存在該仿射李代數之么正最高權表示，而其最高權為dominant integral. 此等表示是可積表示^[2]^[3]。

吾人亦常遇相應於一非緊緻單李羣－例如 SL(2,R)－之 WZW 模型。 Juan Maldacena 與 Hirosi Ooguri 以此描述三維反 de sitter 空間^[4]上之弦理論。此時 π₃(SL(2,R))=0，故不存在拓撲障礙，而其階亦不必為整數。

[编辑] 推廣

上述各 WZW 模型俱定義於黎曼球面上。吾人亦可定義一般緊緻黎曼曲面上之場γ。

[编辑] Current 代數

[编辑] 參攷

J. Wess, B. Zumino, "Consequences of anomalous Ward identities", Physics Letters B, 37 (1971) pp. 95-97.
E. Witten, "Global aspects of current algebra", Nuclear Physics B 223 (1983) pp. 422-432.
V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras