Hình tròn

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Hình tròn và đường tròn bao quanh nó.

Trong hình học phẳng, một hình tròn là một vùng trên mặt phẳng nằm "bên trong" đường tròn. Tâm, bán kính và chu vi của hình tròn chính là tâm và bán kính của đường tròn bao quanh nó.

Một hình tròn được gọi là đóng hay mở tùy theo việc nó chứa hay không chứa đường tròn biên.

[sửa] Công thức

Trong hệ tọa độ Descartes, hình tròn mở có tâm tại (a, b) và bán kính r là tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn:

(x - a)² + (y - b)² < r²

Hình tròn đóng có tâm tại (a, b) và bán kính r là tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn:

(x - a)² + (y - b)² ≤ r²

[sửa] Hình tròn đơn vị

Khi bán kính của hình tròn là 1, hình tròn được gọi là hình tròn đơn vị hay đĩa đơn vị (hoặc dĩa đơn vị).

[sửa] Chu vi và diện tích

Chu vi hình tròn (đóng hay mở) bằng chu vi của đường tròn bao quanh nó; tức là bằng pi nhân với hai lần bán kính: C = 2r π.

Diện tích hình tròn (đóng hay mở) bằng pi nhân với bình phương bán kính của đường tròn bao quanh: A = π r².

Để hiểu tại sao Pi có mặt trong biểu thức chu vi hình tròn C = 2 π r và diện tích hình tròn A = π r², với r là bán kính, xét bài toán sau. Chúng ta cắt hình tròn thành các miếng như bên dưới đây, rồi xếp chúng lại thành hình trông gần giống hình chữ nhật.

Khi các miếng cắt trở nên nhỏ hơn, hình ghép được bên tay trái có cạnh ngang duỗi thẳng hơn và cạnh đứng dựng lên, càng ngày càng giống một hình chữ nhật.

Khi số miếng cắt là rất lớn, hình ghép được sẽ trở thành hình chữ nhật.

Chiều cao của hình chữ nhật bằng bán kính hình tròn ban đầu, r. Chiều ngang của hình chữ nhật tạo bởi việc ghép lại các cung nhỏ xíu của hình tròn, tổng cộng chiều ngang bên trên và chiều ngang bên dưới đúng bằng chu vi của hình tròn, C; suy ra chiều ngang hình chữ nhật bằng C/2. Thêm nữa, diện tích hình chữ nhật bằng diện tích hình tròn, A, ta có:

A = r C/2

Như vậy, nếu định nghĩa số pi là π=C/(2 r) thì A = π r².

Một kết quả quan trọng khác liên quan đến diện tích và chu vi của hình tròn là: trong tất cả các hình kín trên mặt phẳng 2 chiều Euclid có cùng diện tích thì hình tròn có chu vi nhỏ nhất.

[sửa] Mở rộng

Hình tròn được mở rộng ra cho không gian ba chiều thành hình cầu, thể tích nằm trong mặt cầu.

Không gian Euclid n chiều, một hình tròn n chiều (hay đĩa n chiều) bán kính r là tất cả các điểm có khoảng cách tới một tâm cố định nhỏ hơn (với hình tròn mở) hay nhỏ hơn hoặc bằng (với hình tròn đóng). Một hình tròn n-1 chiều cũng là hình chiếu của hình cầu n chiều xuống một mặt phẳng n-1 chiều.

Các hình tròn đơn vị n chiều, ký hiệu, Dⁿ (hay Bⁿ) có tâm tại tâm hệ tọa độ và bán kính bằng 1.