Giai thừa

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. Cho n là một số tự nhiên dương, "n giai thừa", kí hiệu là n! là tích của n số tự nhiên dương đầu tiên:

n! = n.(n-1).(n-2)....4.3.2.1

Đặc biệt, với n = 0, người ta quy ước n! = 1. Ký hiệu n! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808.

[sửa] Bảng các giá trị đầu của n!

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
15	1307674368000
20	2432902008176640000
70	1.19785717... × 10¹⁰⁰

[sửa] Định nghĩa đệ quy

Ta có thể định nghĩa đệ quy n! như sau

0! = 1
(n + 1)! =n! × (n + 1) với n> 0

[sửa] Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừa

Công thức tính số tổ hợp.

${n\choose k}={n!\over k!(n-k)!}.$

Cônh thức tính số chỉnh hợp:

${}A_n^r = \frac{n!}{(n-r)!}.$

[sửa] Các khái niệm tương tự

[sửa] Giai thừa nguyên tố (primorial)

Giai thừa nguyên tố của số tự nhiên n≥2 , ký hiệu n# là tích của tất các các số nguyên tố không vượt quá n.

Ví dụ

2#= 2

3#=2.3=6

4#=2.3=6

5#=2.3.5=30

6#=2.3.5=30

7#=2.3.5.7=210

[sửa] Giai thừa kép

Có thể coi n! là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:

Giai thừa kép là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu 1 và công sai là 2.

$n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{khi }n<=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{khi }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.$

Ví dụ:

8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384

9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Dãy các giai thừa kép đầu tiên là

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n!!	1	1	2	3	8	15	48	105	384	945	3840

Định nghĩa trên có thể mở rộng cho các số nguyên âm như sau:

$(n-2)!!=\frac{n!!}{n}$

Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với n= -1, -3, -5, -7,...là

1, -1, 1/3, -1/15 ...

Các while the double factorial of negative even integers is infinity.

Một vài đẳng thức với giai thừa kép:

$n!=n!!(n-1)!! \,$

$(2n)!!=2^nn! \,$

$(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}$

Cũng nên phân biệt n!! với (n!)!.

[sửa] Giai thừa bội

Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (n!!!),bội bốn (n!!!!) ....

Tổng quát giai thừa bội k ký hiệu là n!^(k), được định nghĩa đệ quy như sau

$n!^{(k)}= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\qquad\ &&\mbox{khi }0\le n<k; \\ n(n-k)!^{(k)},&&\mbox{khi }n\ge k.\quad\ \ \, \end{matrix} \right.$

[sửa] Siêu giai thừa (superfactorial)

Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là

$\mathrm{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,$

Tổng quát

$\mathrm{sf}(n) =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.$

Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (sequence A000178 in OEIS)

Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0):

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ...

và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp m của n là tích của n siêu giai thừa bội cấp(m − 1), nghĩa là

$\mathrm{mf}(n,m) = \mathrm{mf}(n-1,m)\mathrm{mf}(n,m-1) =\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k}$