Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions Топологія - Вікіпедія

Топологія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Цей термін має також інші значення
Стрічка Мебіуса, цікава тим, що має лише одну поверхню; такі форми є об'єктом вивчення топології.
Стрічка Мебіуса, цікава тим, що має лише одну поверхню; такі форми є об'єктом вивчення топології.

Тополóгія (грец. τόπος — місце, logos — наука) — розділ геометрії, що вивчає структуру і властивості просторових об'єктів. Топологія побудована на базі теорії множин, та розглядає як множини точок, так і множини множин.

Термін топологія використовується як для позначення розділу геометрії, так і для позначення системи множин з певними властивостями. Також важливим в топології є вивчення функцій або відображень, які є неперервними. Такі функції можуть розтягнути простір, не розриваючи його, а окремі частини з'єднати воєдино.

Коли цей предмет започатковувася в кінці 19-го століття, його називали geometria situs (лат. геометрія місця) та analysis situs (лат. аналіз місця). Вважається, що період з 1925 по 1975 топологія була пріоритетним напрямком розвитку в математиці.

Топологія є великим розділом математики, який включає багато напрямів. Найрозвиненішими серед них на даний момент є загальна топологія, що вивчає такі поняття та розділи, як компактність, зв'язність, аксіоми зліченості; та алгебраїчна топологія, що включає в себе гомотопію, гомологію та теорію вузлів.

Дивись також: топологічний словник, подані визначення деяких базових понятть топології; топологічні простори, для поглибленого опису теми.

Зміст

[ред.] Історія

Сім мостів Кенігсбергу — відома задача топології поставлена Л. Ейлером.
Сім мостів Кенігсбергу — відома задача топології поставлена Л. Ейлером.

Розділ математики, що зараз називається топологією, започаткували, вивчаючи певні питання в геометрії. Вважається, що стаття Леонарда Ейлера Сім мостів Кенігсбергу (1736) містила перші результати з топології.

Слово «topologie» було вперше застосовано в Німеччині в 1847 році в статті Johann Benedict Listing Vorstudien zur Topologie, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, pp. 67, 1848. Однак на той час Лістінг вже понад 10 років використовував цей термін в своїх листуваннях. «Topology», англійська форма терміну, була запропонована в 1883 в журналі Nature для того щоб розрізнити якісну геометрію від геометрії звичайної, в якій превалюючими є кількісні співвідношення. Слово topologist (тополог) в розумінні спеціаліст з топології було вперше використано в 1905 в журналі Spectator.

Сучасна топологія ґрунтується на базі теорії множин, що була розроблена Георгом Кантором в останні роки 19-го століття. На додачу, Кантор зафіксував деякі базові ідеї теорії множин, що розглядали множини точок в Евклідових просторах, в рамках власного дослідження ряду Фур'є.

Генрі Пуанкаре опублікував книжку Analysis Situs в 1895, ввівши поняття гомотопії та гомології, що зараз є розділами алгебраїчної топології.

Морріс Фрехе, систематизуючи роботи Кантора, Віто Вольтера, Цезара Арзела, Жака Адамарда, Асколи, в 1906 році описав поняття метричного простору. Зараз метричний простір розглядається як частковий випадок більш загального — топологічного простору. В 1914 Фелікс Хаусдорф використав термін «топологічний простір» для визначення поняття, яке зараз називається простір Хаусдорфа і насправді є звуженням топологічного простору.

Для більш докладного представлення дивись статті загальна топологія та алгебраїчна топологія.

[ред.] Інтуїтивне Пояснення

Тривимірний тороїд; кавова чашка та пампушка є топологічно еквівалентними йому.
Тривимірний тороїд; кавова чашка та пампушка є топологічно еквівалентними йому.

Топологічні простори природньо з'являються в багатьох розділах математики. Це робить топологію надзвичайно універсальним інструментом для математиків. Загальна топологія визначає і вивчає такі властивості просторів і відображень між ними як зв'язність, компактність та неперервність. Алгебраїчна топологія використовує об'єкти абстрактної алгебри, а особливо теорії груп для вивчення топологічних просторів і відображень між ними.

Щоб зрозуміти, для чого потрібна топологія, можна навести такий приклад: в деяких геометричних задачах не так важливо знати точну форму об'єктів, як знати як вони співрозташовані. Якщо розглянути квадрат і коло (контури), здавалося б такі різні фігури, можна помітити дещо спільного: обидва об'єкти є одновимірними та обидва розділяють простір на дві частини — внтурішність та зовнішність.

Темою однієї з найперших статей (автор — Леонард Ейлер) з топології була демонстрація того, що неможливо знайти шлях в місті Кенігсберг (тепер Калінінград), який би проліг через кожен з семи міських мостів рівно по одному разу. Цей результат не залежав ні від довжини мостів, ні від відстані між ними. Впливали лише властивості зв'язності: які мости зв'язують які острови чи береги. Ця задача Семи мостів Кенігсбергу є показовою при вивченні математики, також вона стала засадничою в розділі математики, що називається теорія графів.

Схожою є теорема волохатої кулі з алгебраїчної топології, в якій говориться таке: «неможливо зачесати волосся на кулі в один бік». Цей факт є достатньо наочним і багато людей відразу знаходять розуміння, однак її формальний запис для багатьох є неочевидним: неіснує ненульового неперервного поля дотичних векторів на сфері. Як і з Кенігсбергськими мостами, результат не залежить від точної форми сфери; твердження виконується і для грушеподібних форм, навіть для більш загальних — каплеподібних форм (з деякими умовами на гладкість поверхні), при загальній умові відсутності дірок.

Отже для того, щоб розв'язувати подібні задачі, які насправді не потребують відомостей про точну форму об'єктів, потрібно чітко знати, від яких же властивостей залежить розв'язок таких задач. Відразу виникає потреба в визначенні топологічної еквівалентності. Неможливість пройти по кожному з мостів по одному разу відноситься також до будь-якого розташування мостів, еквівалентного Кенігсберзькому; теорема волохатої кулі може бути застосована до будь-якого об'єкту топологічно еквівалентного кулі.

Неперевна деформація кавової чашки в пампушку (тор). Таке перетворення називають гомотопією.
Неперевна деформація кавової чашки в пампушку (тор). Таке перетворення називають гомотопією.
Фази перетворення пампушки
Фази перетворення пампушки

Інтуітивно, два топологічних простори є еквівалентними, якщо один може бути перетворений в інший без відрізань або склеювань. Традиційним є такий жарт: тополог не може відрізнити чашку кави, з якої вона п'є, від пампушки, яку вона їсть, оскільки достатньо гнучку пампушку можна легко перетворити у форму чашки, створивши заглиблення і збільшуючи його, водночас зменшуючи дірку до розмірів ручки.

У якості простого початкового завдання можна класифікувати літери Латинської абетки в термінах топологічної еквівалентності. (Будемо вважати, що товщина ліній, з яких складено літери ненульова.) В більшості шрифтів що зараз застосовуються існує клас літер рівно з однією діркою: {a, b, d, e, o, p, q}, клас літер без дірок: {c, f, h, k, l, m, n, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, та клас літер, що складаються з двох шматків: {i, j}. Літера «g» може належати або класу літер з однією діркою, або (в деяких шрифтах) це може бути літера з двома дірками (якщо її хвістик був замкнений). Для більш складного прикладу можна розглянути випадок нульової товщини ліній; можна розглянути різні топології в залежності від того, який шрифт обрати. Топологія літер має своє практичне застосування в трафаретній типографії: наприклад, шрифт Braggadocio може бути вирізаний з площини, не розпавшись після цього.

[ред.] Математичне визначення

[ред.] Розділи Топології

  • Загальна топологія
  • Алгебраїчна топологія
  • Диференціальна топологія

[ред.] Література

Static Wikipedia (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2006 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Static Wikipedia February 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu