Математична статистика

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Математична статистика

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Завдання математичної статистики полягає в тому, щоб на основі деяких властивостей су­купності елементів, узя­тих з генеральної сукупності, зробити певні висновки про властивості всієї генеральної сукупності.

Теорія статистичного виведення — це формалізована система методів розв'язування задач, що характеризуються намаганням вивести властивості великого масиву даних обстеженням вибі­рки. Завдання статистичного виведення полягає в тому, щоб передбачити властивості всієї сукуп­ності, знаючи властивості вибірки з цієї сукупності. Ця тео­рія безпосередньо базується на теорії ймовірностей.

У генеральній сукупності нас здебільшого цікавить де­яка ознака, обумовлена випадковістю, яка може мати якіс­ний або кількісний характер.

Приклад 1. Нехай автомат виготовляє вали, їх су­купність, виготовлена за певних незмінних умов, утворює генеральну сукупність. Якщо ознакою, яка нас цікавить, є діаметр, то ця ознака має кількісний характер.

Приклад 2. Завод випускає електричні лампи, їх сукупність, виготовлена за певних незмін­них умов, є гене­ральною сукупністю. Якщо нас цікавить здатність лампи функціонувати чи ні, то це якісна ознака.

Параметр певної генеральної сукупності може виража­тися деякою випадковою величиною X. У першому (кіль­кісному) випадку X є самою ознакою; для якісної ознаки, наприклад типу «хо­роший — поганий», можна означити так:

Випадковою вибіркою об'єму п називають вибір об'єк­тів з генеральної сукупності, причому вибір окремих об'єк­тів здійснюється незалежно один від одного. Результатом випадкової вибірки об'єму п є сукупність (x1, х2, x3, -.., xn) значень ознаки. Наприклад, сукупність (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0) є вибіркою об'єму 10 з партії електричних ламп. Тут вісім якісних і 2 бракованих лампи.

Вибіркове спостереження застосовується для контролю за якістю продукції,, використанням основних фондів, ви­користанням робочого дня, вивчення добробуту населення, його купівельної спроможності тощо. В окремих випадках можливе виключно вибіркове спостереження» Напри­клад, здійснюючи контроль за якістю фотопаперу, не вдаються до засвічування всієї виготовленої продукції, а застосовують вибірковий метод. Аналогічно діють, перевіряючи якість випущених радіоламп, під час перевірки міцності тканини на розрив й інше.

Статистичні методи широко застосовуються в теорії на­дійності — прикладній дисципліні, що розробляє питання інженерного, економічного і виробничо-організаційного ха­рактеру. Теорія надійності, використовуючи апарат теорії ймовірностей і математичної статистики, дає змогу ви­з­начити імовірність передчасного виходу а ладу певних технічних виробів, наприклад телевізо­рів. Для тривалості безвідмовної роботи дається не єдине число, а розподіл імовірностей, тобто можливих значень та їхніх імовір­ностей. Наприклад, сучасна японська радіопромисловість дає гарантію на роботу телевізора на 20 років. Це зовсім не означає, що кожний телевізор ці 20 років працюватиме абсолютно безвідмовно, теоретично обґрунтовано заходи, за допомогою яких мо­жна зробити як завгодно малою імо­вірність передчасного виходу їх з ладу.

Результати вибіркового спостереження досить правиль­но характеризують усю генеральну сукупність». Але зведені результати у вибірці ніколи не збігаються Із зведеними показниками ге­неральної сукупності.

Різниці між зведеними показниками вибіркової і гене­ральної сукупності називаються похи­бками вибірки, або по­хибками репрезентативності. Повністю уникнути цих по­хибок не можна, але наблизити їх до нуля можна. Границі похибок визначають на основі теорії імовірностей.