Implikationsparadoxer

Wikipedia

Implikationsparadoxer är paradoxer som uppstår genom att man blandar ihop olika implikationsbegrepp. Denna artikel behandlar paradoxer som involverar den implikation som är vanligast i formell logik: materiell implikation. Den är sanningsfunktionell direkt från sanningsvärdena av premissen A och slutsatsen B enligt sanningstabellen:

A	B	A → B
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Detta ger den bl.a. egenskaperna:

• En falsk premiss (A) gör implikationen sann
• En sann slutsats (B) gör implikationen sann

Att en materiell implikation är sann innebär alltså inte att det råder ett kausalitetsförhållande. Om man förväntar sig att det gör det blir det paradoxalt att vissa satser sägs vara sanna. Ex:

• "Om solen är ett ägg så är månen en grön ost" är en sann sats eftersom solen inte är ett ägg.

• "Om jag heter Bill så är jag rik". Om jag inte heter Bill är implikationen automatiskt sann, oavsett om jag är rik eller inte. Om man förväntar sig att implikationen innebär ett kausalitetsförhållande är det lätt att tro att en korrekt slutsats av satsen är att det vore en god idé att byta namn till Bill. Denna typ av misstag kan ge katastrofala följder. Antag exempelvis att man använder ett elektroniskt system för att övervaka säkerheten i en fabrik, och i detta läser in parametrar från anläggningens konfiguration, varefter systemet kan bevisa logiska satser om systemet. Låt säga att systemet bevisar "om ventilen är stängd kan en olycka inte inträffa". Om man på grund av detta stänger ventilen så kan man riskera en olycka. Satsen "om ventilen är stängd kan en olycka inte inträffa" är nämligen bevisbar om systemet har informationen att ventilen inte är stängd. Om systemet däremot kan bevisa satsen utan att ha någon information om huruvida ventilen är stängd, så är det säkert att stänga ventilen, förutsatt att systemet är korrekt.

I tabellen kan man också se egenskaperna:

• En falsk premiss (A) implicerar vad som helst (B sann eller falsk)

• En sann slutsats (B) impliceras av vad som helst (A sann eller falsk)

Ex:

• "Om jag deltar i festen så är jag en av festdeltagarna". Detta är ett uppenbarligen sant uttalande, uppfattat som ett påstående om hur de två begreppen att delta i festen respektive att vara festdeltagare är relaterade till varandra. Då jag inte deltar i festen (A är falsk) blir implikationen sann betraktad som materiell implikation, men av detta kan man varken dra slutsatsen att jag är en av festdeltagarna (B är sann) eller att jag inte är det (B är falsk). För att kunna göra det måste man i stället använda hur begreppen är relaterade.

• Om jag i stället antar att jag är en av festdeltagarna (B är sann), så att implikationen är sann såsom materiell implikation, så kan inte av det dra någon slutsats om huruvida jag deltar i festen (huruvida A är sann). Även här måste jag använda hur begreppen är relaterade.

Paradoxer kan också uppstå genom att man tillskriver materiell implikation andra egenskaper:

• Man får en paradoxal slutsats om man utgår från att implikationen har egenskapen att "De flesta A är B" betyder detsamma som "De flesta har egenskapen att om A, så B" och att den samtidigt har egenskapen att A → ¬B är ekvivalent med B → ¬A. Materiell implikation har den andra egenskapen men inte den första. Om båda egenskaperna gäller så betyder "De flesta däggdjur är inte människor" detsamma som "För de flesta x gäller: om x är ett däggdjur så är x inte en människa". Eftersom det förra är ett sant påstående måste det senare i så fall också vara det. Om vi nu använder att A → ¬B är ekvivalent med B → ¬A, så kan vi dra slutsatsen att "För de flesta x gäller: om x är en människa så är x inte ett däggdjur" är sant. Men det betyder enligt antagande detsamma som "De flesta människor är inte däggdjur" vilket ju uppenbarligen är falskt.

• Hempels paradox (Korp-paradoxen): "Alla korpar är svarta" är en hypotes som ska testas, som kan formaliseras "För alla x gäller: om x är en korp så är x ett svart föremål". Varje exempel på en svart korp stödjer hypotesen. Detta påstående är med MI:s kontraposition ekvivalent med satsen "För alla x gäller: om x inte är ett svart föremål så är x inte en korp". Således stödjer varje förekomst av icke-svart föremål som inte är en korp, till exempel ett grönt äpple, hypotesen "alla korpar är svarta" och kunde man studera alla icke-svarta föremål skulle man kunna verifiera eller falsifiera hypotesen. Med samma resonemang stödjer ett grönt äpple även hypotesen "alla korpar är vita".

Flera försök har gjorts att formulera implikationsbegrepp som undviker implikationsparadoxer, men detta har ofta lett till uppkomsten av nya sådana.