Diskussion:Implikationsparadoxer

Wikipedia

De båda exemplen på "MI-paradoxer utanför tvåvärd kontext" är inga bra exempel på implikationsparadoxer.

1. "De flesta däggdjur är inte människor" kan egentligen inte formaliseras till en implikation. Problemet är att "För de flesta X.." inte direkt kan översättas till en kvantifikator i predikatlogiken. Det närmaste man kan komma är att säga "Det finns minst ett X sådant att: X är ett däggdjur och X är inte en människa". Om A är "X är ett däggdjur" och B är "X är inte en människa" så blir meningen "Det existerar ett x sådant att A /\ B". Detta är ingen implikation och är definitivt inte ekvivalent med "De flesta människor är inte däggdjur" som formellt blir "De existerar ett x sådant att ¬B /\¬A"
2. Hempels paradox är inte heller egentligen en paradox om MI. Det är en paradox om induktion. Se Raven paradox på engelska wiki.

Sten André 21 september 2003 kl.18.59 (CEST)

Det går utmärkt att formalisera kvantifikatoruttryck av typ "för de flesta x..." även om detta inte är gjort i standard predikatslogiken. Emellertid har detta inget att göra med översättningen mellan "A är B" och "om Ax så Bx" som gäller oberoende av vilken kvantifikator som väljs. Konjunktionen A /\ B uppstår bara om man väljer att formalisera "om.. så.." till materiell implikation vilket inte är den bästa lösningen.

I ditt exempel motsvarar "A är B" eller om du så vill "om Ax så Bx" av "däggdjur är inte människor" eller "om däggdjur så inte människa" vilket är en falsk utsaga. Om denna initiala implikation är falsk så är naturligtvis den kontrapositionistiska "om människa så inte däggdjur" också falsk. Det finns helt enkelt ingen paradox. Observera att det är endast tillsammans med kvatifikatorn "för de flesta.." som den ursprungliga satsen är sann. Problemet är alltså snarast semantiskt. Språkligt ser "de flesta däggdjur är inte människor" ut att vara en implikation, men det är det inte, det är en konjunktion. Du säger att konjunktionen uppstår bara om man väljer materiell implikation för att formalisera "om..så..". Men något annant val finns inte. Det är den enda formalism som finns. Villkorlig implikation är inte en del av någon formalism utan en kvarleva från den gamla icke-formalistiska logiken. Detta är bara ett av många exempel på att mänskligt språk är tvetydigt och missledande och otillräckligt för att uttrycka logiska utsagor på ett distinkt sätt. Sten André 30 november 2003 kl.18.40 (CET)

Materiell mplikation formaliseras som en disjunktion ~AvB (eller med ~(A&~B) om man så vill, som ju är en negation av en konjunktion) i den klassiska logiken, medan villkorlig implikation formaliseras som (A&B)/A i den polyvalenta logiken (eller motsvarande som P(A&B)/P(A) i sannolikhetslogiken). Dessa logiker finns men har inte rönt den uppmärksamhet de förtjänar för sin förmåga att kunna uttrycka innehållet i språkliga satser. Att villkorliga satser formaliseras som ovillkorliga uttryck, skapar sådana svårigheter som du anger: satsen "om däggdjur så inte människa" är en falsk sats i klassisk logik men är i verkligheten näst intill sann (männskan utgör endast en bråkdel av en procent av alla däggdjur). "om människa så inte däggdjur" är däremot per definition falsk eftersom begreppet människa innefattar egenskapen att vara däggdjur. Den klassiska logiken utsäger att A->~B och B->~A har samma innebörd vilket "om däggdjur så inte människa" och "om människa så inte däggdjur" inte har. Däri består paradoxen. Kvantifikatorn "de flesta" gör bara paradoxen mer synlig. // Åke Persson 1 december 2003 kl.17.46 (CET)

Tack för att du gör kärnfrågan så tydlig. De båda meningarna "om människa så inte däggdjur" och "om däggdjur så inte människa" har just exakt samma innebörd i vardagsspråket och verkligheten. De säger helt enkelt båda två att däggdjur och människor inte har något gemensamt, de är disjunkta mängder. Båda meningarna är lika falska. I en bivalent formalism som bara kan uttrycka sannt och falskt, och inte grader däremellan finns ingen paradox med materiell implikation.

Paradoxen uppstår inte inom det formella systemet utan mellan teori och praktik, i skillnaden mellan vad teorin säger och vad vårt förnuft uppfattar. Satserna "om människa så inte däggdjur" och "om däggdjur så inte människa" har inte samma innebörd (se ovan), men det har A->~B och B->~A. Eftersom det är svårt att uppfatta denna paradox i en bivalent kontext (fast den finns redan där, se ovan) har den givits som exempel på användning av materiell implikation i en icke-bivalent kontext. //Åke Persson 1 december 2003 kl.21.55 (CET)

Hempels paradox kommer visserligen från vetenskapsteorin, men utnyttjar en egenskap hos den materiella implikationen, att p->q är ekvivalent med ~q->~p. Denna regel skapar paradoxen. Det finns ett antal tolkningar av vad det är i Hempels paradox som skapar problemen liksom det finns om de flesta andra paradoxer. Icke desto mindre är det den materiella implikationens egenskap kontraposition som gör att paradoxen framträder. Kontraposition är endast giltig i vissa kontexter, som t.ex. bivalens och för universalkvantifierade satser.

Åke Persson 26 september 2003 kl.00.25 (CEST)

På engelska wiki i artikeln Raven paradox som jag läst nu, ges en alldeles korrekt förklaring av paradoxen som inte uppkommer om man använder villkorlig implikation. Bayes teorem använder en sannolikhetsteoretisk variant av villkorlig implikation: "B givet A" som är isomorf med "om A så B".

Åke Persson 26 september 2003 kl.00.38 (CEST)

---

Jag har redigerat lite i den del som handlar om tvåvärd kontext. Exemplen var alltför suggestiva. Det är inte underligt om det framstår som paradoxalt om man i ena meningen skriver "Om jag hette Bill" och i nästa mening tillämpar det på "Jag heter Bill", etc. Böjningsformerna "hette" och "heter" används ju just för att klargöra skillnaden i mening. Det är inte rättvist att skapa paradoxer genom att göra betydelseglidningar. När jag nu har stramat upp detta och använt konsekvent språk, så är det paradoxala i det närmaste bortblåst. Därför kan man fråga sig om inte denna sida behöver skrivas om med andra exempel. "Månen är ost" fungerar bra, resten haltar betänkligt.

I avdelningen om flervärd kontext har jag suddat ett exempel som bara blir en paradox om man misstolkar "För de flesta x gäller: om x är en människa så är x inte ett däggdjur" som "De flesta människor är inte däggdjur". Det finns inget som säger att kvantorn "för de flesta" kan begränsas på detta sätt, med tanke på att kvantorn "för något" ("det existerar") inte kan det. Problemet ligger inte i implikationen, utan i en felaktig begränsning av kvantorn. Sten André påpekade detta för tre år sedan ovan, men av någon anledning har exemplet fått stå kvar. Sten André påpekade också att Hempels paradox snarare är en paradox om induktion -- och fick mothugg. Oavsett hur man analyserar denna paradox så måste man väl gå med på att vad den visar är att den vetenskapliga induktionsmetoden går dåligt ihop med materiell implikation. Därför tycker jag att den platsar på denna sida.

Jag ifrågasätter däremot varför sista avdelningen heter "utanför tvåvärd kontext". Exemplen som gavs (inklusive det jag suddade) var i tvåvärd kontext. Visserligen nämns polyvalent logik i sista meningen men inget sägs om hur paradoxer undviks där.

Jesper Carlström 13 oktober 2006 kl. 12.13 (CEST)

Jag håller med om att meningarna behöver ha samma tempus i Bill-exemplet för att vara jämförbara. Fixat. /Åke Persson 13 oktober 2006 kl. 19.47 (CEST)

Jesper, hur vill du formalisera "De flesta människor är inte däggdjur"? Detta exempel med människor och däggdjur är ett välkänt exempel på hur den materiella implikationens kontraposition inte går att använda utanför kvantorerna (kvantifikatorerna) "alla" och "ingen" och dess negeringar. Det är också anledningen till att den klassiska första ordningens logik aldrig har utvidgats till fler kvantitetsbegrepp mellan alla och ingen. /Åke Persson 13 oktober 2006 kl. 20.01 (CEST)

Jag anser mig inte ha en bättre formalisering. Jag menar bara att det är orättvist att skylla problemet på implikationen. Man får problem först om man anser att "För de flesta x gäller: om x är en människa så är x inte ett däggdjur" betyder detsamma som "De flesta människor är inte däggdjur". Varför skulle det göra det? Jag uppfattar påståendena som helt olika, men håller naturligtvis med om att om man identifierar deras mening så får man problem, precis som att man får problem om man identifierar andra satser som betyder helt olika saker. Som jag påpekat ovan har andra hållit med om detta. Om du ihärdar med att sätta tillbaka exemplet föreslår jag att du lägger dit en referens till litteratur eller dylikt, eller förklarar varför det är rimligt att identifiera "För de flesta x gäller: om x är en människa så är x inte ett däggdjur" med "De flesta människor är inte däggdjur". Jesper Carlström 13 oktober 2006 kl. 20.50 (CEST)

Gör som du vill. Detta är ingen stor grej för mej. /Åke Persson 13 oktober 2006 kl. 20.59 (CEST)

Jag anser mig inte ha en bättre formalisering. Jag menar bara att det är orättvist att skylla problemet på implikationen.

Låt mig konkretisera ytterligare. Vi formaliserar med materiell implikation:

• "Alla däggdjur är icke-människor" som "För alla x gäller: om x är däggdjur så är x icke-människa",
• "Något däggdjur är icke-människa" som "För något x gäller: x är däggdjur och x är icke-människa".

Om vi nu vill formalisera "De flesta däggdjur är icke-människor", så ser jag inte varför detta ska göras enligt mönstret för allkvantor när det lika gärna kunde ske enligt mönstret för existenskvantor eller enligt ett helt eget mönster. Därför ifrågasätter jag redan första meningen "De flesta däggdjur är inte människor" kan formalisers till "För de flesta x gäller: om x är ett däggdjur så är x inte en människa". Det är i mina ögon inte mer naturligt än att välja existenskvantorn som förebild: "De flesta däggdjur är inte människor" kan formalisers till "För de flesta x gäller: x är ett däggdjur och x är inte en människa". Båda dessa förslag är i mina ögon lika konstiga. Jag anser att de bara visar att implikation och konjunktion inte duger som begränsning av kvantorn "för de flesta", inte att de i någon mening ger "paradoxer" för vare sig implikation eller konjunktion. En paradox ska vara något som vid en första anblick verkar rätt, men som visar sig vara problematiskt vid närmare eftertanke. I detta fall kan jag inte förstå att man skulle kunna tro att det är rätt ens vid en första anblick, om man är lite erfaren av logik.

Det kan hända att exemplet kan fungera som en paradox om man formulerar om det. Jag ska tänka på saken och se om jag kommer på något. Jesper Carlström 13 oktober 2006 kl. 21.07 (CEST)

Ser nu att du även bytt tillbaka det mesta av det som jag ändrade i exemplet med Bill. Återigen: det är missvisande att hävda att den materiella implikationen "om jag heter Bill är jag rik" medför att det vore en god idé att byta namn, den uttalar sig inte om vad som kommer att hända om jag byter namn, bara om vad som gäller om jag heter Bill just nu. Dessutom hade jag ändrat "Eftersom jag inte heter Bill är implikationen sann" till "Om jag inte heter Bill är implikationen sann", eftersom vi inte har något i sammanhanget som gör att vi kan dra slutsatsen "Jag heter inte Bill". Varför tyckte du att det var bättre som det var innan? Jag tyckte att jag rättade några uppenbara skrivfel och därigenom gjorde en tjänst, men tydligen står du för dem eftersom du aktivt byter tillbaka. Jesper Carlström 13 oktober 2006 kl. 21.26 (CEST)

Nu har jag formulerat om paradoxen med "de flesta" på ett sätt som jag hoppas tillfredsställer oss båda två. Jag bytte ut kontrapositionen mot principen att om A, så icke B är ekvivalent med om B, så icke A. Detta för att visa att paradoxen inte beror på användande av uteslutna tredje. Jesper Carlström 14 oktober 2006 kl. 21.14 (CEST)

Nu har jag även formulerat om paradoxen med Bill och byggt ut den med ett i mina ögon mer slående exempel. Jag har försökt att göra detta på ett sätt som ska bevara själva exemplet och lyfta fram dess paradoxala egenskap, men samtidigt vara korrekt, vilket jag inte ansåg att det var förut, eftersom det påstods att det vore en god idé att byta namn till Bill, trots att inget säger att implikationen bevaras under sådana förändringar. Jag hoppas att vi kan enas om den aktuella formuleringen. Jesper Carlström 15 oktober 2006 kl. 10.35 (CEST)