Hilberts hotell
Wikipedia
Hilberts hotell är en paradox som gäller ett hypotetiskt hotell, påhittat av matematikern David Hilbert i syfte att illustrera oändlighetsbegreppet.
"Hilberts hotell" tänks ha oändligt (uppräkneligt) många rum, men alla rum är upptagna. När det en kväll kommer en ny gäst som vill ha ett rum får alla gamla gäster flytta ett rumsnummer upp, så att gästen i rum nummer 1 flyttar till nummer 2 och gästen som har rum nummer 2 flyttar till nummer 3 och så vidare. På det sättet blir ju rum nummer 1 ledigt till den nye gästen. Nästa kväll kommer det oändligt många nya gäster. Dessa kan också få plats i hotellet trots att det är fullt, genom att varje gammal gäst flyttar till det rum som har dubbelt så stort rumsnummer som det som gästen för tillfället bor i. På detta sätt blir alla (oändligt många) rum med udda nummer lediga till de nya gästerna.
Om det kommer oändligt många bussar med oändligt många gäster i varje, så får de ändå plats i hotellet. Detta kan till exempel visas genom att hotellrummen tilldelas dubbelnummer i ett diagonalmönster enligt principen 0:0; 1:0, 0:1; 2:0, 1:1, 0:2; 3:0, 2:1, 1:2, 0:3 och så vidare. Genom att låta det första numret svara mot en buss och det andra mot en gäst i bussen, så kan man göra ett parande (en bijektion) mellan gästerna och hotellrummen.
[redigera] Slutsats: kardinalitetsbegreppet
Exemplet med Hilberts hotell ger slutsatsen att mängden av naturliga tal, mängden av heltal och mängden av rationella tal är lika många; de har samma kardinalitet.
