Bernoullis olikhet

Wikipedia

Bernoullis olikhet, efter Jakob Bernoulli, är en matematisk olikhet som approximerar exponentiering av 1+x. den används ofta i bevis av andra olikheter.

Olikheten lyder

$(1 + x)^n \geq 1 + nx\!$

för varje heltal n ≥ 0 och varje reellt tal x > −1. Om exponenten n är jämn gäller olikheten för alla reella tal x. En strikt variant av olikheten lyder

$(1 + x)^n > 1 + nx\!$

för varje heltal n ≥ 2 aoch varje reellt tal x ≥ −1 med x ≠ 0.

[redigera] Bevis

Olikheten kan bevisas med hjälp av induktion: För n=0, $(1+x)^0 \ge 1+0x \iff 1\ge 1$ vilket är sant.

Antag nu att olikheten gäller för n=k:

$(1+x)^k \ge 1+kx$

Då gäller att

$(1+x)^{k+1} = (1+x)(1+x)^k \ge (1+x)(1+kx)$

(från antagandena, då $(1+x)\ge 0$ ), så

$(1+x)^{k+1}= 1+kx+x+kx^2 = 1+(k+1)x + kx^2 \ge 1+(k+1)x$

(då $kx^2 \ge 0$ ) Detta ger att $(1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x$ , vilket bevisar att antagandet även gäller för n=k+1.

Induktion ger nu att olikheten gäller för alla $r\ge 0 \ \ \Box \;$

[redigera] Generaliseringar

Exponenten n kan generaliseras till ett godtyckligt reellt tal r enligt följande: om x > −1, så är

$(1 + x)^r \geq 1 + rx\!$

om r ≤ 0 eller r ≥ 1, och

$(1 + x)^r \leq 1 + rx\!$

för 0 ≤ r ≤ 1. Generaliseringen kan visas genom jämförelser av derivatorna. Återigen kräver den strikta varianten av olikheterna att x ≠ 0 och att r ≠ 0, 1.

Man kan även generalisera olikheten till godtyckliga faktorer:

$\prod_{i=1}^n(1+x_i)> 1+\sum_{i=1}^n x_i$