Téoréma Cochran

Ti Wikipédia, énsiklopédi bébas

Dina statistika, téoréma Cochran digunakeun dina analisis varian.

Anggap U₁, ..., U_n ngarupakeun standar variabel random bebas nu kasebar normal, sarta dina bentuk identitas

$\sum_{i=1}^n U_i^2=Q_1+\cdots + Q_k$

bisa dituliskeun yen unggal Q_i nyaeta jumlah kuadrat kombinasi liniér tina U. Mangka lamun

$r_i+\cdots +r_k=n$

numana r_i ngarupakeun rangking tina Q_i, teorema Cochran nangtukeun yen Q_i bebas sarta Q_i ngabogaan sebaran chi-kuadrat nu mibanda tingkat kabebasan r_i.

Téoréma Cochran ngarupakeun konversi téoréma Fisher.

[édit] Conto

Lamun X₁, ..., X_n ngarupakeun variabel random bebas nu kasebar normal mibanda mean μ sarta simpangan baku σ mangka

U i = (X i - μ) / σ

ngarupakeun standar normal keur unggal i.

Ieu mungkin keur nulis

$\sum U_i^2=\sum\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma}\right)^2 + n\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2$

(didieu, jumlahna ti 1 nepi ka n, dumasar kana observasi). Keur nempo ieu identitas, kalikeun ku $σ$ sarta catet yen

$\sum(X_i-\mu)^2= \sum(X_i-\overline{X}+\overline{X}-\mu)^2$

sarta legaan keur manggihkeun

$\sum(X_i-\overline{X})^2+\sum(\overline{X}-\mu)^2+ 2\sum(X_i-\overline{X})(\overline{X}-\mu).$

Watesan katilu sarua jeung nol sabab ieu angger kana waktu

$\sum(\overline{X}-X_i),$

sarta watesan kadua ngan watesan n identik nu ditambahkeun babarengan.

Kombinasi di luhur ngahasilkeun (sarta dibagi ku σ²), urang mibanda:

$\sum\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2= \sum\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma}\right)^2 +n\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\right)^2 =Q_1+Q_2.$

Ayeuna rengking Q₂ ngan 1 (ieu ngarupakeun kuadrat tina hiji kombinasi linier variabel normal standar). Rengking Q₁ bisa ditembongkuen jadi n − 1, sarta kondisi teorema Cochran kapanggih.

Teorema Cochran netepkeun yen Q₁ and Q₂ ngarupakeun bebas, mibanda sebaran chi-kuadrat n − 1 sarta 1 tingkat kabebasan.

Ieu nembongkeun yen sampel mean sarta sampel varian bebas; sarta

$(\overline{X}-\mu)^2\sim \frac{\sigma^2}{n}\chi^2_1.$

Keur estimasi varian &sigma², hiji estimator nu biasa digunakeun nyaeta

$\hat{\sigma^2}= \frac{1}{n}\sum\left( X_i-\overline{X}\right)^2$ .

Teorema Cochran nembongkeun yen

$\hat{\sigma^2}\sim \frac{\sigma^2}{n}\chi^2_{n-1}$

nu nembongkeun yen nilai ekspektasi $\hat{\sigma}^2$ nyaeta σ²n/(n − 1).

Dua sebaran ieu ngarupakeun proporsi kana varian sabenerne tapi teu dipikanyaho σ²; mangka ieu rasio ngarupakeun σ² bebas sabab duana bebas, mangka urang miboga

$\frac{\left(\overline{X}-\mu\right)^2} {\frac{1}{n}\sum\left(X_i-\overline{X}\right)^2}\sim F_{1,n}$

numana F_1,n ngarupakeun sebaran-F nu mibanda 1 sarta n tingkat kabebasan (tempo oge sebaran-t student).

Disalin ti "http://su.wikipedia.org../../../t/%C3%A9/o/T%C3%A9or%C3%A9ma_Cochran_92b5.html"

Kategori: Statistika | Téoréma

Téoréma Cochran

Ti Wikipédia, énsiklopédi bébas

[édit] Conto

Views

Pituduh

Sungsi