Zaporedje

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Zaporédje je v matematiki vsaka množica števil, ki je razporejena tako, da je en njen element a₀ prvi, en element a₁ drugi, en element a₃ itd. in lahko za vsako število množice določimo, na katerem mestu zaporedja stoji. Posamezna števila v zaporedju imenujemo člene zaporedja. Členi zaporedja so lahko tudi enaka števila, negativna števila, ulomki.

Obstaja tudi naslednja določitev: zaporedje je v poljubni množici X funkcija f N → X (množice naravnih števil N, po navadi brez števila 0) v množico X.

Mesto člena zaporedja po navadi zapišemo v indeksnem zapisu a₀, a₁, a₂, ... z indeksom ob boku člena, namesto funkcijskega zapisa f (0), f (1), f (2), ...

Tudi končna zaporedja so možna. Takšna zaporedja imajo zadnji člen. Pravimo jim tudi končni seznami. Tukaj v matematičnem delu obravnavamo neskončna zaporedja, saj je to v skladu z obema definicijama. Vsako neskončno zaporedje nima zadnjega člena. Velikokrat podamo zaporedje s splošnim členom a_n, drugače pa s pravilom, po katerem tvorimo poljubne člene. Zaporedje si geometrijsko predstavimo s točkami na realni številski premici.

Če je množica X množica celih števil, je dano zaporedje celoštevilsko zaporedje.

Primeri tako urejenih množic števil:

zaporedje naravnih števil:
- {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., a_n, ...} (a_n = n, n ≥ 0)
zaporedje obratnih vrednosti naravnih števil brez števila 0:
- {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ..., a_n } (a_n = 1/n, n > 0)
zaporedje sodih števil:
- {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ..., a_n, ...} (a_n = 2n, n ≥ 0)
zaporedje lihih števil:
- {1, 3, 5, 7, 9, 11, ..., a_n, ...} (a_n = 2n + 1, n ≥ 0)
zaporedje kvadratov naravnih števil:
- {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ..., a_n, ...} (a_n = n², n ≥ 0)
{11, 0, 1/11, 8/121, 81/1331, 1024/14641, a_n, ...} (a_n = (n-1)ⁿ/11^n-1, n ≥ 0)
izmenično zaporedje:
- {-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, ..., a_n, ...} (a_n = -1ⁿ, n ≥ 0)
- {0, -1, 2, -3, 4, -5, 6, ..., a_n, ...} (a_n = -1ⁿn, n ≥ 0)
{1, 3/4, 2/3, 5/8, 3/5, 7/12, 4/7, ..., a_n, ...} (a_n = (1 + 2 + 3 + ... + n)/n², n > 0)
aritmetično zaporedje:
- {3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, ..., a_n, ...} (a_n = 5(n+1)-2, n ≥ 0)
geometrično zaporedje:
- {6, 2, 2/3, 2/9, 2/27, 2/81, 2/243, ..., a_n, ...} (a_n = 2(1/3)^n-1, n ≥ 0)
alikvotno zaporedje z najmanjšim znanim ključnim številom:
- {276, 396, 696, 1104, 1872, 3770, 3790, 3050, 2716, 2772, 5964, 10164, ...} (ni znano ali je neskončno)
Fibonaccijevo zaporedje:
- {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ..., a_n, ...} (a₀ = 0, a₁ = 1, a_n+2 = a_n + a_n+1, n ≥ 0)