Interpolacija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Interpolácija je v matematiki približna vrednost funkcije znotraj obsega znanih nepovezanih vrednosti neodvisne spremenljivke. Imejmo na primer naslednjo tabelo vrednosti fukcije

$\begin{matrix} \mathbf{x} & \mathbf{f(x)} \\ & \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 3 & 9 \\ \vdots & \vdots \\ 4 & 16 \\ 5 & 25 \\ \end{matrix}$

Vidimo, da lahko odvisnost f(x) prilegamo s funkcijo x². V splošnem pri interpolaciji ni tako. Radi bi vedeli vrednost funkcije f(x), ki odgovarja x = 1,7. Najenostavnejša je linearna interpolacija med vrednostmima za x = 1 in x = 2:

$f(1,7)\approx f(1)+\frac{1,7-1}{2-1}(f(2)-f(1))=1+0,7(4-1)=1+0,7\cdot 3=3,1 \; .$

Če je osnovna funkcija res $x 2$ , je prava rešitev seveda

f (1,7) = 1,7 2 = 2,89

Na ta način po navadi interpolacija ni natančna. Zaradi tega lahko interpolacijo uporabimo kot učinkovit algoritemski postopek za 'ugibanje' številskih vrednosti, ki manjkajo, za spajanje točk v grafičnem prikazu, iskanje najboljšega prilega premic njihovim nagibom. V bistvu jo lahko uporabimo vsakokrat kadar želimo pretvoriti nezvezen niz podatkov v zvezno funkcijo.

Pri ekstrapolaciji za razliko iščemo vrednosti funkcije zunaj danega obsega znanih vrednosti. Moramo biti pazljivi, ker tukaj rezultati niso vedno smiselni.

Vsebina

1 Interpolacijski algoritmi
2 Interpolacijski postopki
3 Interpolacija v višjih razsežnostih
- 3.1 Dve razsežnosti
- 3.2 Tri razsežnosti
4 Zgodovina
5 Glej tudi

[uredi] Interpolacijski algoritmi

Pri iskanju ustreznega algoritma za interpolacijo vrednosti je potrebno upoštevati več stvari. Na primer kako dobro želimo prilagoditi funkcijo, koliko vrednosti želimo uporabiti za prilagajanje.

[uredi] Interpolacijski postopki

Primerjajmo nekaj splošno uporabljanih interpolacijskih algoritmov, da dobimo vpogled kdaj je kakšen uporaben. V primerih bomo označili zaporedne vrednosti v ciljnem podatkovnem nizu kot $v 0, v 1, v 2, v 3$ in vrednost, ki jo interpoliramo kot $x$ . Tako je naša funkcija

$\begin{matrix} \mathbf{x} & \mathbf{f(x)} \\ & \\ \lfloor x \rfloor - 1 & v_0 \\ \lfloor x \rfloor & v_1 \\ \vdots & \vdots \\ \lfloor x \rfloor + 1 & v_2 \\ \lfloor x \rfloor + 2 & v_3 \\ \end{matrix}$

$x_f = x - \lfloor x \rfloor$

[uredi] Primer linearne interpolacije

Najpreprostejši postopek je linearna interpolacija, v angleških virih tudi označen z navideznim akronimom lerp.

Imamo dve vrednosti v točkah $v 1$ in $v 2$ . Potem določimo približni vrednosti z uteženo srednjo vrednostjo med dvema točkama, ki sta odvisni od vrednosti $x$ . To nam da:

$I V = v 1 (1 - x f) + v 2 (x f)$

Ta algoritem je hiter in enostaven. Težava je, ker dobljena funkcija ni zvezno odvedljiva (oziroma ni odvedljiva pri $\lfloor x \rfloor$ ).

[uredi] Primer interpolacije s kosinusom

Ta algoritem je malo obsežnejši od linearne interpolacije, vendar ne preveč.

Tukaj vzamemo dve vrednosti in z vrednostjo za $x$ izračunamo kosinus na intervalu $[0\ldots\pi]$ , preslikamo v $[\lfloor x \rfloor \ldots \lceil x_i \rceil]$ , kar se na koncu preslika v točki $v 1$ in $v 2$ .

$F = \frac{1-\cos(x_f\pi)}{2}$

$I V = v 1 (1 - F) + v 2 F$

To je le malo boljše od linearne interpolacije. Dobljena funkcija je sicer zvezno odvedljiva, toda odvedljivost je napovedljiva, ker je interpolacija še vedno linearna (odvod je v $\lfloor x \rfloor$ zmeraj enak nič).

[uredi] Primer kubične interpolacije

Kubični algoritem je primer polinomske interpolacije. Ker je število potrebnih koeficientov za izračun kubične funkcije le štiri, je to število členov v večini primerov dovolj.

Aproksimacijski polinom lahko zapišemo v obliki:

$f (t) = a t 3 + b t 2 + c t + d$

kjer se $f (t)$ preslika na točke

$f ( - 1) = v 0 = - a + b - c + d$

$f (0) = v 1 = d$

$f (1) = v 2 = a + b + c + d$

$f (2) = v 3 = 8 a + 4 b + 2 c + d$

Sedaj enačbe rešimo za $a, b, c$ in $d$ , da dobimo:

$a=\begin{matrix}{1\over6}\end{matrix}(-v_0+3v_1-3v_2+v_3)$

$b=\begin{matrix}{1\over2}\end{matrix}(v_0-2v_1+v_2)$

$c=\begin{matrix}{1\over6}\end{matrix}(-2v_0-3v_1+6v_2-v_3)$

$d = v 1$

Z zgornjimi koeficienti tvorimo polinom in ga izračunamo za izbrani $x$ .

$IV = ax_f^3 + bx_f^2 + cx_f + d$

Čeprav moramo tukaj najprej izračunati koeficiente krivulje, je ta postopek veliko natančnejši od linearne interpolacije.

[uredi] Interpolacija v višjih razsežnostih

Večrazsežni interpolacijski postopki so posebej prilagojeni od interpolacije vzdolž številskih premic do interpolacije vzdolž ravnin, prostornin ali celo višjih razsežnosti polj numeričnih podatkov.

[uredi] Dve razsežnosti

bilinearna interpolacija
bikubična interpolacija

[uredi] Tri razsežnosti

trilinearna interpolacija

[uredi] Zgodovina

Guo Šoudžing

[uredi] Glej tudi

linearna interpolacija
polinomska interpolacija
interpolacija z zlepki
prilagajanje funkcije
Nyquist-Shannonova interpolacijska enačba

Vzpostavljeno iz »http://sl.wikipedia.org../../../i/n/t/Interpolacija.html«

Kategorija: Matematika

Interpolacija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Vsebina

[uredi] Interpolacijski algoritmi

[uredi] Interpolacijski postopki

[uredi] Primer linearne interpolacije

[uredi] Primer interpolacije s kosinusom

[uredi] Primer kubične interpolacije

[uredi] Interpolacija v višjih razsežnostih

[uredi] Dve razsežnosti

[uredi] Tri razsežnosti

[uredi] Zgodovina

[uredi] Glej tudi

Views

Navigacija

občestvo

podpora

Iskanje

V drugih jezikih