Polinom

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Polinóm, mnogočlénik ali veččlenik stopnje n, je linearna kombinacija potenc z nenegativnimi celimi eksponenti.

Vsebina

1 Splošno
2 Enakost polinomov
3 Računske operacije nad polinomi
4 Razcep polinomov

[uredi] Splošno

Splošni zapis polinoma

$p_n (x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0\qquad(1)$

ali krajše

$p_n (x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k\qquad(2) ,$

kjer so koeficienti

$a_n ,a_{n - 1} ,a_{n - 2} , \ldots a_2 ,a_1 ,a_0 \;;\;a_n \ne 0\qquad(3)$

poljubna realna števila ali kompleksna števila. Polinome uvrščamo med cele racionalne funkcije. Preprosti polinomi so realne funkcije ene realne spremenljivke:

$p:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\quad p:x \mapsto p(x)\qquad(4) .$

Osnovni parametri polinoma so:

stopnja polinoma st(p) = n
vodilni koeficient a_n
prosti člen a₀.

Glede stopnje polinoma ločimo

polinom ničte stopnje (n = 0) ali konstantni polinom

$p_0 (x) = a_0 ,a_0 \ne 0\qquad(5) ,$

polinom prve stopnje (n = 1) ali linearni polinom

$p_1 (x) = a_1 x + a_0 ,a_1 \ne 0\qquad(6) ,$

polinom druge stopnje (n = 2) ali kvadratni polinom

$p_2 (x) = a_2 x^2 + a_1 x + a_0 ,a_2 \ne 0\qquad(7)$

polinom tretje stopnje (n = 3) ali kubični polinom

$p_3 (x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 ,a_3 \ne 0\qquad(8) ...$

Graf polinoma je nepretrgana ravninska polinomska krivulja n-te stopnje:

$Gr_p = \left\{ {T(x,p(x));\left( {x \in \mathbb{R}} \right) \wedge \left( {y = p(x)} \right)} \right\} \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}\qquad(9) .$

[uredi] Enakost polinomov

Polinoma

$p_n (x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 ,\;a_n \ne 0$

$q_m (x) = b_m x^m + b_{m - 1} x^{m - 1} + \cdots + b_2 x^2 + b_1 x + b_0 ,\;b_m \ne 0$

sta med seboj enaka, če se ujemata v stopnji (n = m) in v vseh koeficientih (za vsak k ≤ n velja a_k = b_k).

[uredi] Računske operacije nad polinomi

Nad polinomi lahko izvajamo naslednje računske operacije:

množenje polinomov s konstanto
seštevanje polinomov
odštevanje polinomov
množenje polinomov
deljenje polinomov
potenciranje polinomov.

Za računske operacije, ki jih izvajamo nad polinomi veljajo enaki računski zakoni kot za računanje s celimi števili.

[uredi] Množenje polinoma s konstanto

Pri množenju polinoma s konstanto množimo vse njegove člene s to konstanto:

$(c \cdot p)(x) = \sum_{k = 0}^{n} ca_{k} x^k ,c \in \mathbb{R}\qquad(10) .$

[uredi] Seštevanje polinomov

Seštevanje dveh ali več polinomov izvajamo tako, da seštevamo med seboj člene z enakimi potencami. Stopnja vsote je manjša ali kvečjemu enaka najvišji stopnji izmed vseh polinomov v vsoti.

$(p_{n} + q_{m})(x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^k + \sum_{l = 0}^{m} b_{l} x^l = \sum_{k = 0}^{\max (m,n)} (a_{k} + b_{k } )x^k\qquad(11)$

[uredi] Odštevanje polinomov

Odštevanje polinomov je nasprotna računska operacija seštevanju, zato za odštevanje polinomov veljajo enaka pravila kot za seštevanje:

$(p_{n} - q_{m})(x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^k - \sum_{l = 0}^{m} b_{l} x^l = \sum_{k = 0}^{\max (m,n)} (a_{k} - b_{k } )x^k\qquad(12) .$

[uredi] Množenje polinomov

Polinome med seboj množimo po distributivnostnem pravilu ali pravilu o razčlenjevanju.

$(p_{n} \cdot q_{m} )(x) = \left( {\sum_{k = 0}^{n} a_{k } x^k } \right) \cdot \left( {\sum_{l = 0}^{m} b_{l } x^l } \right) = \sum_{k = 0}^{n} {\sum_{l = 0}^{m} a_{k} b_{l } x^{k + l} } = \sum_{i = 0}^{n + m} {\left( {\sum_{k + l = i}^{} a_{k} b_{l } } \right)} x^i\qquad(13)$

Velja naslednje: Vodilni koeficient produkta dveh ali več polinomov je enak produktu vodilnih koeficientov posameznih polinomov. Prosti člen produkta dveh ali več polinomov je prav tako enak produktu prostih členov posameznih polinomov. Stopnja produkta dveh ali več polinomov je enaka vsoti stopenj posameznih polinomov.

[uredi] Deljenje polinomov

Pri deljenju polinomov se oprimemo osnovnega izreka o deljenju, ki pravi: Za poljubna polinoma p stopnje n in q stopnje m, kjer velja n > m, obstajata natanko določena polinoma k in r, tako da velja

$p_{n} (x) = k_{n - m} (x) \cdot q_{m} (x) + r(x)\qquad(14) .$