Частичный предел последовательности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. Очевидно, что только предельная точка множества элементов последовательности может быть её частичным пределом, а также обратное (для доказательства будем брать δ_n=1/n и, выбирая в каждой δ-окрестности предельной точки член последовательности, построим таким образом сходящуюся к этой точке подпоследовательность).

Нижним пределом последовательности (обозначается $\lim_{\overline{n\rightarrow\infty}}{x_{n}}$ или $\liminf_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}$ ) называется наименьший элемент множества частичных пределов последовательности, а верхним пределом ( $\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}{x_{n}}$ или $\limsup_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}$ ) — наибольший элемент.

Не во всяком множестве существуют наибольший или наименьший элемент; примером может служить интервал (0, 1). Однако утверждается, что у ограниченной последовательности верхний и нижний пределы существуют.

Докажем это утверждение для верхнего предела. По теореме Больцано-Вейерштрасса множество частичных пределов ограниченной последовательности непусто. Пусть s — верхняя грань множества A частичных пределов. Тогда заметим, что $\forall\varepsilon >0 (s-\varepsilon\neq sup(A))\Rightarrow(\exists a_{1}\in A: s-\varepsilon<a_{1}\leq s)$ , а это означает, что в любой окрестности точки a₁ находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого "эпсилон", мы можем сказать, что в любой окрестности точки s содержится бесконечно много членов последовательности (т. к. в любой окрестности мы можем найти точку a₁). Значит, s по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что мы и хотели доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.

Последовательность {x_n} сходится к a тогда и только тогда, когда $\lim_{\overline{n\rightarrow\infty}}{x_{n}}=\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}{x_{n}}=a$ , т. к. получается, что a - единственная предельная точка множества элементов последовательности.

Категория: Ряды и последовательности

Частичный предел последовательности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках